【正文】 ),(0 CBA?? 線性反饋規(guī)律： Kxvu ??2022/5/27 4 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)： ?????????DvxDKCyBvxBKAx)()(?nrK ?維數(shù)是反饋增益矩陣： ?????????????rnrrnnkkkkkkkkkK??????212222111211BBKAsICsG k 1)]([)( ????狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為： ???????CxyBvxBKAx )(? 一般 D=0， 可化簡為： ),( CBBKAk ???狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示： 0)( ??? BKAI?狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為： 2022/5/27 5 原受控系統(tǒng) ： ???????DuCxyBuAxx?),(0 CBA??Hyvu ???AB ?uxx?rmH?v?C1my ?? ??二、輸出到參考輸入的反饋（又稱為 輸出反饋 ） 將系統(tǒng)輸出量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到參考輸人，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。 結(jié)論 1：當(dāng) HC＝ K時，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價。故輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。所以，輸出反饋是部分狀態(tài)反饋，輸出信息所包含的不一定是系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，適合工程應(yīng)用，性能較狀態(tài)反饋差。 這種反饋在狀態(tài)觀測器中應(yīng)用廣泛，結(jié)構(gòu)和觀測器很相似。 四、狀態(tài)反饋極點(diǎn)配臵條件和算法 極點(diǎn)配臵算法 (1)判斷系統(tǒng)能控性。 1）直接法求反饋矩陣 K（ 維數(shù)較小時， n≤ 3 ） 定理 ： (極點(diǎn)配臵定理 ) 對線性定常系統(tǒng) 進(jìn)行狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點(diǎn)得到任意配臵的充要條件是： 狀態(tài)完全能控 。對不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反饋不能改變其特征值。 *1 1 2 1 1 0( ) ) ) ) nnnnf ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?（ （ （? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(4)由 確定反饋矩陣 K： ][21 nkkkK ??)()( * ?? ff ?[解 ]： （ 1） 先判斷該系統(tǒng)的能控性 [例 1] 考慮線性定常系統(tǒng) 其中： 試設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣 K， 使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為 2177。 ,x A x B u y C x? ? ?? ?0 1 0 00 0 1 , 0 , 1 0 01 5 6 1A B C? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?2022/5/27 10 該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋，可任意進(jìn)行極點(diǎn)配臵。 (2)假如加入狀態(tài)反饋陣 K， 得到反饋后的特征多項(xiàng)式為： 1 0 00 2 1x x u?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2022/5/27 12 )2)(1(201)](d e t [)( 221kkkBKAIf ??????????? ??????從中可以看出，對于－ 1的極點(diǎn)，狀態(tài)反饋不起作用，狀態(tài)反饋只能通過 k2去影響 2這個極點(diǎn)。 求 將相等繁瑣，所以引入第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法。 ??????????????????????????? )()()()(1000010000101322110 nn kkkkKBA???? ?????????能控標(biāo)準(zhǔn)型下，加入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣為： [第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式及 ] K2022/5/27 15 11 1 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn nnf I A BK k k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為： 根據(jù)期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望特征多項(xiàng)式： *1 1 2 1 1 0( ) ) ) ) nnnnf ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?（ （ （? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?][ 111100 ?? ??? ???? nnaaK ???? ????由 ，可以確定第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋矩陣為： )()( * ?? ff ?2022/5/27 16 (1)判斷系統(tǒng)能控性。 (2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型 的變換陣 ? ),( CBA若給定狀態(tài)方程已是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型，那么 ，無需轉(zhuǎn)換 IPc ?2即可然后確定只需要求系統(tǒng)不變量 2, ci P?11 1 0() nn nf I A ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，求反饋增益矩陣 K的步驟： ?????????????????????101001],[12121212nnnncbbAbAP??????????????????2cP系統(tǒng)不變量： 2022/5/27 17 (3)根據(jù)給定或求得的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望的特征多項(xiàng)式： *1 1 2 1 1 0( ) ) ) ) nnnnf ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?（ （ （? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*0*11*1012211)(??????????????????????sssssssGnnnnnnn??*i?(4)直接寫出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋增益矩陣 ： ][ 111100 ?? ??? ???? nnaaK ???? ????12?? cPKK(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣 ： 還可以由期望閉環(huán)傳遞函數(shù)得到： 第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，非常適合于計算機(jī) matlab求解 期望的閉環(huán)極點(diǎn)有時直接給定；有時給定某些性能指標(biāo)：如超調(diào)量 和調(diào)整時間 等） %pM st2022/5/27 18 [例 ]用第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，重新求解前面例 1： （ 2） 計算原系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式： 156||)( 23 ?????? ????? AIf[解 ]： （ 1） 可知，系統(tǒng)已經(jīng)是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型了，故系統(tǒng)能控，此時變換陣 IPc ?22022022)10)(42)(42()( 23* ?????????? ??????? jjf（ 3） 計算期望的特征多項(xiàng)式 ]855199[12 ?? ?cPKK（ 4） 確定 K陣 所以狀態(tài)反饋矩陣 K為： ? ?855199][ 221100 ????? ??? ???? ?? aaK第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的狀態(tài)反饋矩陣為： 0 1 0 00 0 1 , 01 5 6 1AB? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?2022/5/27 19 3）愛克曼公式 (Ackermann公式法 ) （維數(shù)較大時， n3） 為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定： *1 1 2 1 1 0( ) ) ) ) nnnnf ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?（ （ （? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? )A(BAABB1000K 11 ???? n??其中 是 A滿足其自身的特征方程，為： * 1 * *1 1 0() nn n ??? ? ? ? ?A A A A I? ? ? ?)A(?*i?推導(dǎo)過程：略 此方法也非常適合于計算機(jī) matlab求解 2022/5/27 20 [例 ]用愛克曼公式， 重新求解前面例 1： ??????????????????????11743771598855199I200A60A14AIAAA)A( 23*0*12*23 aaa?[解 ]： （ 1） 確定系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)： 2022022)10)(42)(42()( 23* ?????????? ??????? jjf14,60,2 0 0 210 ??? ??? ???所以： （ 2）確定 )A(?0 1 0 00 0 1 , 01 5 6 1AB? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?2022/5/27 21 （ 3） 所以狀態(tài)反饋矩陣 K為： ? ?? ?? ?? ?? ?85519911743771598855199001016165100117437715988551993161610100100)A(BAAB100K112???????????????????????????????????????????????????????B2022/5/27 22 [例 ]已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 ? ?0 1 00 3 210uy? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ??? ??xxx設(shè)計狀態(tài)反饋增益矩陣 K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為－ 1和－ 2，并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 02r a n k [ ] r a n k [ ] r a n k 226c??? ? ?????Q B A B系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可以通過狀態(tài)反饋任意配臵其極點(diǎn)。 4）離虛軸距離較近的主導(dǎo)極點(diǎn)收斂慢，對系統(tǒng)性能影響最大，遠(yuǎn)極點(diǎn)收斂快，對系統(tǒng)只有極小的影響。 ),(0 CbA??),( CbbKAk ???證明 : 的能控性判別陣為：),(0 CbA?? ? ?bAAbbQ nc 10 ?? ?的能控性判別陣為：),( CbbKAk ???? ?bbKAbbKAbQ nck 1)()( ???? ?的第一列。的秩可知，狀態(tài)反饋后由初等變換不改變矩陣初等變換得到列向量的線性組合。所以經(jīng)過極點(diǎn)的任意配臵， 可能會出現(xiàn)零極點(diǎn)相約 ，由于可控性不變，故可能破壞可觀測性。 極點(diǎn)配臵算法 ：反饋陣 k的求法 2022/5/27 29 (4)由 確定反饋矩陣 K： ][21 nkkkK ??)()( * ?? ff ?(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式： )](d e t [)( BKAIf ??? ??(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫期望特征多項(xiàng)式。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。 3）愛克曼公式 (Ackermann公式法 ) （維數(shù)較大時， n3） ? ?? ? )A(BAABB1000K 11 ???? n??其中 是 A滿足其自身的特征方程，為： * 1 * *1 1 0() nn n ??? ? ? ? ?A A A A I? ? ? ?)A(?為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：