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2025-06-16 03:17本頁(yè)面
【正文】 比估計(jì)是否漸近無(wú)偏呢？ 利用 Taylor展開(kāi)式，有 將比估計(jì) 表示為： ?R y x??( 1 )yyRxXxXX????2? 1y y x X x XRx X X X?? ??????? ? ? ? ??? ??????21y x X x XX X X?? ??????? ? ??? ??????() 當(dāng) n 相當(dāng)大時(shí)， 與 相當(dāng)接近，而 是常數(shù)，又 是 的 無(wú)偏估計(jì)，因此，實(shí)質(zhì)上 ，所以 。具體計(jì)算時(shí)，只要將 分別換為 即可。主要針對(duì) 與 來(lái)說(shuō)明，因?yàn)? 它們僅相差一個(gè)常數(shù)因子，因此，只需討論其中一個(gè)就可以。如果 相關(guān)程度不那么密切（ ），此時(shí)已知的 X信息并 沒(méi)有較多地提供 Y的信息，借助 X來(lái)推斷 也許會(huì)“幫倒忙” 假如 X與 Y是負(fù)相關(guān)，則更不能采用比估計(jì)方法，此時(shí)應(yīng)采用 所謂乘積估計(jì)，即： Y2XYCC? ?當(dāng) n 充分大時(shí)，且滿(mǎn)足： 1122XXYYS X CS Y C? ? ? ? ?() ,ppx y x yy y NXX????() 成立 ( ) ( )RV a r y V a r y?例 某縣小麥種植面積為 218756畝，分布在 N=576個(gè)村，為 估計(jì)全縣產(chǎn)量，隨機(jī)無(wú)放回地抽取 n=24個(gè)村，所得數(shù)據(jù)如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 302 361 608 444 298 349 416 428 258 347 351 158 308 217 492 280 378 386 428 390 376 432 261 483 i村 i村()iy產(chǎn)量 噸 ()iy產(chǎn)量 噸()ix面積 畝 ()ix面積 畝每個(gè)村有兩個(gè)指標(biāo)： 面積 和 產(chǎn)量 ，即： ix iy ( , )iixy經(jīng)計(jì)算可得： 3 6 4 .6 2 5x ? 1 3 0 .6 2 5y ?2 ? 2 9 4 9 8 .5 0 5ys ?3 2 1 3 .1 1 0xys ? 218756X ? 218756 3 7 9 . 7 8 4 7576X ??所以該縣平均畝產(chǎn)小麥估計(jì)為： 1 3 0 . 6 2 5? 0 . 3 5 8 2 4 5 ( )3 6 4 . 6 2 5yRx? ? ? 噸畝? 218756 ( )Ry X R? ? ? ? 噸采用比估計(jì)可得 和 分別為： Ry ()Rvy22 2 2( 1 ) ?(yxNf s R sn? ? ?2)xyRs?()Rvy ? 385080?僅利用 數(shù)據(jù)估計(jì)該縣小麥總產(chǎn)量 與估計(jì)量方差分別為： y Y5 7 6 1 3 0 . 6 2 5 7 5 2 4 0 ( )y N y? ? ? ? ? 噸22( 1 )( ) 1 4 7 3 4 3 5 9yNfv y sn???顯然， 的方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 的方差。事實(shí)上 在實(shí)際操作中人們正是這樣去做的！ Ry y 現(xiàn)在來(lái)求總產(chǎn)量的 95％的置信區(qū)間，首先 置信區(qū)間為： 21 ()Ru v y???Ry( ， ) 21 ()Ru v y???Ry( ) 6 2 0 . 5 5 ( )Rvy ? 噸 2 0 . 9 7 51 1 . 9 6uu?? ??( 7 7 1 5 2 , 7 9 5 8 4 )?167。 ,hhyxhY hY ,Rh Rhyy hX hXX 22,Yh XhSS YXhS ,YXS s ,YX ,yx我們可以得到有關(guān)總體 和 的分別比估計(jì)為： Y Y 分層抽樣中的比估計(jì)有兩種：一是分層之后，先在各層 獲得比估計(jì)，然后按層權(quán)平均得到總體參數(shù)估計(jì)；二是先對(duì) 作分層估計(jì)，然后再采用比估計(jì)方法。 ,YX1 1 11k k khhR S h R h h h hh h hyyy W y W X Xx N x? ? ?? ? ? ? ?? ? ?() 11kkhR S R S h R hhhhyy N y X yx??? ? ? ? ???() 由上節(jié)可知，各層中的 是 的漸近無(wú)偏估計(jì)量，因此 是 的漸近無(wú)偏估計(jì)量： Rhy hYYRSy各層的抽樣又是獨(dú)立進(jìn)行的 ,根據(jù) ()式 , 可以近似得到 的方差或均方誤差，當(dāng)各個(gè) 都相當(dāng)大時(shí)： RSyhn1( ) ( )kR S R hhE y E y Y?
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