第六章習(xí)題a(117頁)-在線瀏覽
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【正文】 解 設(shè) ?是矩陣 A屬于特征值 ?的特征向量 , 即 A?=??. 12. 證明 n階方陣 A可逆的充要條件是 0不是 A的特征值 . 證明 A可逆 ?detA?0?det(0EA)?0(0不是 A的特征值 ) 于是有 ??0, 故有 A1?=(1/?)?, 即 1/?是 A1的一個特征值 . 13. 已知 ?是 n階可逆矩陣 A的一個特征值 , 試確定 A1和 A*的一個特征值 . 14. 設(shè) 3階實對稱矩陣 A的特征值 ?1=6, ?2=?3=3, ?1=(1, 1, 1)T是屬于特征值 ?1=6的一個特征向量 , 求 A. 而 A*?=|A|A1?=(|A|/?)?, 所以 |A|/?是 A*的一個特征值 . 解 設(shè)矩陣 A的屬于特征值 ?2=?3=3的特征向量為 ?= (x1, x2, x3)T, 則 ?與 ?1正交 , 所以有 x1+x2+x3=0. 所以屬于特征值 ?2=?3=3的特征向量可取為 : ?2=(1,1,0)T, ?3=(1, 0, 1)T, 記 P=(?1, ?2, ?3), 則有 所以有 1 1 11 1 0 ,1 0 1???????????P 11 1 111 2 131 1 2????????? ???P1 1 1 6 1 1 111 1 0 3 1 2 131 0 1 3 1 1 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?A6 3 3 1 1 116 3 0 1 2 136 0 3 1 1 2? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?4 1 11 4 11 1 4?????????15. 設(shè) 2階矩陣 A的特征值為 1, 5, 對應(yīng)的特征向量分別為 : (1, 1)T, (2, 1)T, 求 A. 解 由已知有 , 1 2 1 2 1 0=1 1 1 1 0 5? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A所以有 11 2 1 0 1 2= 1 1 0 5 1 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A1 1 0 1 21=1 5 1 13? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?3 4=2 1?????? 解 由 R(2EA)=1, 得 x=2. 再由 det(yEA)=0, 得 求一個可逆矩陣 P, 使 P1AP=D. 16. 設(shè)矩陣 與 相似 ,求 x,y, 并 1 1 1= 4 23 3 5x????? ???????A2=2y????????D1 1 10 = 2 4 23 3 5yyy?????2 1 1= 2 4 20 3 5yyyy?????2 1 1= 0 3 10 3 5yyy???? =(y2)(y28y+12)=(y2)2(y6)=0, 得 y=6, (因 y?2) 又由于 1 1 12 = 2 2 23 3 3?????? ? ??? ???EA1 1 10 0 00 0 0??????????滿足 P1AP=D. 可得屬于 ?1=?2=2的特征向量 : ?1=(1, 1, 0)T, ?2=(1, 0, 1)T. 由 5 1 16 = 2 2 23 3 1???????????EA132310010 0 0??????????可得屬于 ?3=6的特征向量 : ?3=(1, 2, 3)T. 所以可取 1 1 11 0 20 1 3????? ? ?????1 2 3P = ( ξ , ξ , ξ )所以 解 A的特征多項式為 : 12 ( 1 ) ( 3 )21? ???? ? ? ??17. 設(shè) A= , 求 An(n是正整數(shù) ). 1221????????所以 A的特征值為 ?1=1, ?2=3. 11 1 1 1 1 01 1 1 1 0 3? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?A= 屬于它們的特征向量可分別取為 ?1=(1, 1)T, ?2=(1, 1)T, 于是有 11 1 1 0 1 11 1 0 3 1 1n ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?A= ( 1 ) 3 ( 1 ) 312 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3n n n nn n n n??? ? ? ???? ? ? ???= 屬于它們的特征向量可分別取為 ?1=(1, 2)T, ?2=(1, 1)T, 于是有 所以 解 A的特征多項式為 : 241 ( 5 6 ) ( 2 ) ( 3 )21? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??18. 設(shè) A= , 求 An(n是正整數(shù) ). 4121???????所以 A的特征值為 ?1=2, ?2=3. 11 1 1 1 2 02 1 2 1 0 3?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?A=11 1 2 0 1 12 1 0 3 2 1nn?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?A=112 3 2 3 22 2 3 2 3n n n nn n n n????? ? ???? ? ???=第六章習(xí)題 B（ 119頁） 1. 設(shè) A是 3階方陣 , 且 EA, 2EA及 E+A都是不可逆矩陣 , 求行列式 detA. 2. 試構(gòu)造一個 3階實對稱矩陣 A, 使其特征值為 ?1=?2=1, ?3=1, 且有特征向量 ?1=(1, 1, 1)T, ?2=(2, 2, 1)T. 解 detA=?1?2?3=1?2?(1)=2. 解 由于 A是實對稱矩陣 , 故 3個相互正交的特征向量 , 令 x1+x2+x3=0, 2x1+2x2+x3=0, 得
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