自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問題-在線瀏覽
2025-05-13 03:36本頁面
【正文】 自行車車輪上的飾物 自行車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度 定常量模型建立 模型1（問題1）自行車在馬路上行駛時(shí)，可以認(rèn)為馬路是平坦的，因此自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一條直線。在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性時(shí)，可以利用圖像求出幾個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，與利用軌跡方程求出的坐標(biāo)一一比較，若兩者求出的坐標(biāo)都是相同的，則驗(yàn)證了模型的正確性。以自行車輪上某一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，假設(shè)飾物的初始位置在軸上，其示意圖如圖1所示，則飾物的初始坐標(biāo)為。經(jīng)過時(shí)間后，飾物的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程：所以，飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程： 根據(jù)一般自行車的規(guī)格，取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖2所示：圖2 飾物在平坦道路上的軌跡用飾物在特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來驗(yàn)證模型。飾物轉(zhuǎn)動(dòng)、和時(shí)的坐標(biāo)分別為、和。圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的圖像由圖像我們可以得到的縱坐標(biāo)為。因此飾物轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)為。用同樣的方法，我們可以把飾物轉(zhuǎn)動(dòng)和時(shí)的圖像作出，然后利用圖像求得飾物轉(zhuǎn)動(dòng)和時(shí)的坐標(biāo)，這與由方程式計(jì)算出飾物轉(zhuǎn)動(dòng)和時(shí)的坐標(biāo)都是相同的。 模型2（問題2）當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過時(shí)，自行車輪軸心的軌跡是一個(gè)類拋物線。當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時(shí)，使用類似的方法，先求出自行車輪軸心的軌跡，然后確定飾物的軌跡。假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為，則自行車輪的軸心的軌跡方程為：解之得：這就是自行車輪軸心的軌跡方程。而經(jīng)過時(shí)間后，飾物的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程：所以，飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：這就是當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過時(shí)飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為，則自行車輪的軸心的軌跡方程為：解之得：這就是自行車輪軸心的軌跡方程。 這個(gè)定積分較為復(fù)雜，故在求解的時(shí)候，運(yùn)用微積分的思想，將圖形等步長微分成份，對每一部分求出面積后累加即可得到的解。故有：同樣令，根據(jù)，得到飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：這就是當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時(shí)飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。設(shè)初始狀態(tài)時(shí)橢圓的方程為：，其參數(shù)形式為：則橢圓中心的坐標(biāo)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，如圖6所示。嘗試通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，找出橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)角度后和關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，即：則過切點(diǎn)的切線方程為：。從而可以推得：。
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