【正文】 C是∠BED的平分線；（3）設(shè)四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（4）求當(dāng)t為何值時，△EFC是等腰三角形．（直接寫出答案）42．如圖1，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至矩形B點正好落在CD上的點E處，連結(jié)BE．（1）求證：∠BAE=2∠CBE；（2）如圖2，連BG交AE于M，點N為BE的中點，連MN、AF，試探究AF與MN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若AB=5，BC=3，直接寫出BG的長　 　．43．將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10．（1）如圖（1），在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標(biāo)；（2）如圖（2），在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE′、F，將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在AB邊上D′點，過D′作D′G∥AO交E′F于T點，交OC于G點，求證：TG=AE′；（3）在（2）的條件下，設(shè)T（x，y）．①探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②指出變量x的取值范圍．44．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90176。AD∥BC，E為AB的中點，連接CE，BD，過點E作FE⊥CE于點E，交AD于點F，連接CF，已知2AD=AB=BC．（1）求證：CE=BD；（2）若AB=4，求AF的長度；（3）求sin∠EFC的值．47．如圖①，在長方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=5cm，點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點C運動，設(shè)點P的運動時間為ts．（1）PC=　 　cm．（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時，△ABP≌△DCP，請說明理由；（3）如圖②，當(dāng)點P從點B開始運動時，點Q從點C出發(fā)，以acm/s的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣a的值，使得△ABP與△PCQ全等？若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．48．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的長．（2）若點E為x軸上的點，且S△AOE=，試判斷△AOE與△AOD是否相似？并說明理由．（3）在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F為頂點的三角形是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)．49．如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，對角線AC=l0cm．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）如圖（2），若動點Q從點C出發(fā)，在CA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點P從點B出發(fā)，在BC邊上以每秒4cm的速度向點C勻速運動，運動時間為t秒（0≤t＜2），連接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如圖（3），若點Q在對角線AC上，CQ=4cm，動點P從B點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BC運動至點C止．設(shè)點P運動了t 秒，請你探索：從運動開始，經(jīng)過多少時間，以點Q、P、C為頂點的三角形是等腰三角形？請求出所有可能的結(jié)果．50．如圖，點E為正方形ABCD的邊BC所在直線上的一點，連接AE，過點C作CF⊥AE于F，連接BF．（1）如圖1，當(dāng)點E在CB的延長線上，且AC=EC時，求證：BF=；（2）如圖2，當(dāng)點E在線段BC上，且AE平分∠BAC時，求證：AB+BE=AC；（3）如圖3，當(dāng)點E繼續(xù)往右運動到BC中點時，過點D作DH⊥AE于H，連接BH．求證：∠BHF=45176。=∠BCD，從而得點B、C、D、G四點共圓，因此∠BGC=∠DGC=60176。．【解答】解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60176。=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180176?！螪GC=∠DBC=60176。過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），則△CBM≌△CDN（AAS），∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，S四邊形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60176?！郉G=BG，在△GDC與△BGC中，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60176。③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（　?。〢．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性質(zhì)就可以得出∠AEB=75176。．∵△AEF等邊三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60176。．在Rt△ABE和Rt△ADF中，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正確；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30176。∴∠AEB=75176。=EFsin60176。=x，∴AG≠2GC，③錯誤；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC?=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④錯誤；∵S△CEF=x2，S△ABE=BEAB=xx=x2，∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正確．綜上所述，正確的有3個，故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質(zhì)解題時關(guān)鍵．　3．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于點F，CE⊥AE，垂足為點E，EG⊥CD，垂足為點G，點H在邊BC上，BH=DF，連接AH、FH，F(xiàn)H與AC交于點M，以下結(jié)論：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG?DG，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　?。〢．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、證明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，則AM既是中線，又是高線，得AC⊥FH，證明BH=HM=MF=FD，則FH=2BH；所以①②都正確；③可以直接求出FC的長，計算S△ACF≠1，錯誤；④根據(jù)正方形邊長為2，分別計算CE和AF的長得結(jié)論正確；還可以利用圖2證明△ADF≌△CDN得：CN=AF，由CE=CN=AF；⑤利用相似先得出EG2=FG?CG，再根據(jù)同角的三角函數(shù)列式計算CG的長為1，則DG=CG，所以⑤也正確．【解答】解：①②如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90176?！逜E平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=176?！唷螲AC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故選項①②正確；③在Rt△FMC中，∠FCM=45176。即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QB，根據(jù)正弦的定義即可求解；根據(jù)AA可證△BGE與△BCF相似，進一步得到相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；又∵∠BAE+∠BEA=90176。∴∠BGE=90176。∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正確；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5，∴S四邊形ECFG=4S△BGE，故④錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查了四邊形的綜合題，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)的知識點，解決的關(guān)鍵是明確三角形翻轉(zhuǎn)后邊的大小不變，找準(zhǔn)對應(yīng)邊，角的關(guān)系求解．　5．如圖，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分線交邊BC于點E，AH⊥DE于點H，連接CH并延長交邊AB于點F，連接AE交CF于點O，給出下列命題：（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH（3）OH=AE （4）BC﹣BF=EH其中正確命題的序號（　?。〢．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=AB=CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=176。得到（1）正確；（2）設(shè)DH=1，則AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正確；（3）通過角的度數(shù)求出△AOH和△OEH是等腰三角形，從而得到（3）正確；（4）由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，從而得到（4）不正確．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∠ADC=∠BCD=90176?！逜H⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AH，∴AH=AB=CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AED=176。﹣45176。=176?！唷螮AH=176?！唷螪HC=176。﹣90176。=176?！郞A=OH，∴∠AEH=∠OHE=176?？傻谩螩BF+∠BEA=90176。即可判斷③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合CF=BE可判斷④；然后根據(jù)點P在運動中保持∠APB=90176?！唷螩BF+∠BEA=90176。故③正確；在△BPE和△BCF中，∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，∴△BPE∽△BCF，∴=，∴CF?BE=PE?BF，∵CF=BE，∴CF2=PE?BF，故④正確；∵點P在運動中保持∠APB=90176。；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH，其中正確的結(jié)論有（　?。〢．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】首先證明∠HCF=∠FHC=176。作CK⊥AF于K，推出CE=CK＜CF，由此判斷④錯誤．【解答】解：如圖，連接AC、以D為圓心DA為半徑畫圓．∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC=AB=BC，∠ADC=∠B=∠DCB=90176?！摺鱀EF是由△DEA翻折得到，∴DA=DF=DC，EA=EF，∠AED=∠DEF，∴∠AFC=∠ADC=45176。∴∠AEF=90176。∵EA=ED=EF，∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=176。∴∠ADF=180176。∴∠CDF=∠ADF﹣∠ADC=45176。﹣∠CDF﹣∠DFC=176?！唷螲CF=∠FHC，∴△CFH是等腰三角形，故③正確．②錯誤，∵∠ACD=∠CDF，∴AC∥DF，∴S△DFA=S△FDC，∴S△ADH=S△CHF，故⑤正確，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠BAM=∠CDN，在△ABM和△DCN中，∴△ABM≌△DCN，故①正確，在△EAF中，∵∠CAE=∠CAF，∠AEC=90176。又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；②由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以 ==，故②正確；③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；④根據(jù)△AEF∽△CBF得到 ==，求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCDS四邊形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD，即可得到S四邊形CDEF=5S△AEF=，故④錯誤．【解答】解：過D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90176?！唷鰽EF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴==，∵AE=AD=BC，∴=，∴CF=2AF，故②正確，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，故③正確；∵△AEF∽△CBF，∴==，∴S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD∴S△AEF=S矩形ABCD，又∵S四邊形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD，∴S四邊形CDEF=5S△AEF故④錯誤；故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．　9．如圖，正方形ABCD的邊CD與正方形CGFE的邊CE重合，O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于H，連接OH、FH、EG與FH交于M，對于下面四個結(jié)論：①GH⊥BE；②HOBG；③點H不在正方形CGFE的外接圓上；④△GBE∽△GMF．其中正確的結(jié)論有（　?。〢．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】（1）由四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90176?！螩GH+∠GBE=90176?！螩DG=∠HDE，∴∠BEC+∠HDE=90176?！螩GH+∠GBE=90176?！唷鱃B