【正文】 （2）現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B修兩條公路PA，PB，使點(diǎn)P到新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B的距離之和最短．此時(shí)PA+PB=　_________?。ㄇ祝。海?）若把圖中小人平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫(huà)出點(diǎn)P的位置．　10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對(duì)稱(chēng)軸為y軸．（1）請(qǐng)畫(huà)出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)AB2（應(yīng)保留畫(huà)圖痕跡，不必寫(xiě)畫(huà)法，也不必證明）；（2）連接A1AB1B2（其中AB2為（1）中所畫(huà)的點(diǎn)），試證明：x軸垂直平分線(xiàn)段A1AB1B2；（3）設(shè)線(xiàn)段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4）、B（﹣4，2），連接（1）中A2B2，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)C，使△A1B1C與△A2B2C的周長(zhǎng)之和最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（不必說(shuō)明周長(zhǎng)之和最小的理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．　11．某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠(chǎng)，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益．請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠(chǎng)所在的位置C，使A、B兩地到加工廠(chǎng)C的運(yùn)輸路程之和最短．（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）　12．閱讀理解如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線(xiàn)A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線(xiàn)AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿∠BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線(xiàn)A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．探究發(fā)現(xiàn)（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？　_________　（填“是”或“不是”）．（2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系．根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為　_________　．應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15176。、105176。和105176。試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．　13．如圖，△ABC中AB=AC，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)D．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段BE、DE、CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線(xiàn)段？請(qǐng)說(shuō)明理由；　14．（2012?東城區(qū)二模）已知：等邊△ABC中，點(diǎn)O是邊AC，BC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，M，N分別在直線(xiàn)AC，BC上，且∠MON=60176。BC=9cm，AB的垂直平分線(xiàn)MN交BC于M，交AB于N，求BM的長(zhǎng)．　21．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線(xiàn)與BC的垂直平分線(xiàn)PQ相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作PN⊥AB于N，PM⊥AC于點(diǎn)M，求證：BN=CM．　22．如圖己知在△ABC中，∠C=90176。DE垂直平分AB，E為垂足交BC于D，BD=16cm，求AC長(zhǎng)．　2013年10月初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析　一．解答題（共22小題）1．（2013?日照）問(wèn)題背景：如圖（a），點(diǎn)A、B在直線(xiàn)l的同側(cè)，要在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A B′與直線(xiàn)l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在⊙O 上，∠ACD=30176?！螧AC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線(xiàn)段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程．考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題．3113559分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠C′AE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊AC上截取AB′=AB，連結(jié)BB′，再過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線(xiàn)段B′F的長(zhǎng)即為所求．解答：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P此時(shí)PA+PB最小，且等于AE．作直徑AC′，連接C′E．根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30176?！螪OE=30176?！唷螩′AE=45176。∴∠C′=∠C′AE=45176。AB′=AB=10，∴B′F=AB′?sin45176。=10=5，∴BE+EF的最小值為．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵．　2．（2013?六盤(pán)水）（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與直線(xiàn)m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線(xiàn)段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值． 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為　?。?（2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60176。BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=；（2）實(shí)踐運(yùn)用：過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值；由于的度數(shù)為60176?！螦OC=60176。+30176。于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N．解答：解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（2），CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值，∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30176。點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴∠BOC=30176。∴∠EOC=30176。+30176?！逴A=OE=1，∴AE=OA=，∵AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值．故答案為；（3）拓展延伸如圖（4）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題．　3．（2012?涼山州）在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題．如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法．他把管道l看成一條直線(xiàn)（圖（2）），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最?。淖龇ㄊ沁@樣的：①作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′．②連接AB′交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題．如圖在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，BC邊上的高為4，請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使△PDE得周長(zhǎng)最小．（1）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出△PDE周長(zhǎng)的最小值：　8?。键c(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題．3113559專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接D′E，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；（2）利用中位線(xiàn)性質(zhì)以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．解答：解：（1）作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接D′E，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；（2）∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，∴DE為△ABC中位線(xiàn)，∵BC=6，BC邊上的高為4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E===5，∴△PDE周長(zhǎng)的最小值為：DE+D′E=3+5=8，故答案為：8．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑以及三角形中位線(xiàn)的知識(shí)，根據(jù)已知得出要求△PDE周長(zhǎng)的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵．　4．（2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l同側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小．做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B39。與直線(xiàn)l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最?。龇ㄈ缦拢鹤鼽c(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為　?。?）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60176。BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)果；（2）要在直徑CD上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，設(shè)A′是A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接A′B，與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．此時(shí)PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果．（3）畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，延長(zhǎng)DB′交AC于點(diǎn)P．則點(diǎn)P即為所求．解答：解：（1）BP+PE的最小值===．（2）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，交CD于點(diǎn)P，連接OA′，AA′，OB．∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，∠AOD的度數(shù)為60176。PA=PA′，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，