【正文】 ???????????????? ???rururururutrr在 球坐標(biāo)系 中，連續(xù)方程式為 其它坐標(biāo)系的連續(xù)方程 167。對于積分形式的動量方程其優(yōu)點(diǎn)在于 不必知道流動范圍內(nèi)部的過程 ，而只需要知道邊界面上的流動情況即可。 * * *( ) ( ) ( )D t D t td v d V F d V d Adt ?? ?? ? ??? ? ?? nfT只適用于慣性系！ ()d m v Fdt ? ?56 將雷諾輸運(yùn)定理應(yīng)用于流體系統(tǒng)的動量定理公式中 動量方程 ? ? fss y s C V C Sd v d v d v v n d A F Fd t t? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ?系統(tǒng)動量變化率 流出控制體的凈動量流率 控制體內(nèi)動量變化率 系統(tǒng)所受合外力 ()s y s C V C Sd v d V v d V v v n d Ad t t? ? ??? ? ??? ? ??Ff – 質(zhì)量力； Fs – 表面力 57 注意： 1. 動量方程是三維的 2. 外力的各分量、以及各速度分量均有正、負(fù)，其取決于坐標(biāo)軸方向的選擇！ 3. 矢量點(diǎn)積 (V 在 dt時間內(nèi)，作用在控制體內(nèi) 流體上的合外力等于同時間間隔內(nèi)從控制體 凈流出的流體動量 與控制體內(nèi)流體 動量對時間的變化率 之和。使它的一部分控制面與要計(jì)算作用力的固定邊界重合，其余控制面則視取值方便而定。 控制體動量定理另一種證明方法 59 ? ? ? ?? ???????????????????????????????????????AttVAAttVdAuutdVudAuutdAuutdVu?????????????21 設(shè) t 時刻流體系統(tǒng)與控制體 V重合，且控制體內(nèi)任意空間 點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)速度為 ，密度為 ，則流體系統(tǒng)在 t 時刻 的初動量為 ，經(jīng)過 時刻以后，原流體系 統(tǒng)運(yùn)動到實(shí)線所示位置，這個流體系統(tǒng)在 時刻的末動量為 u? ?tVdVu ????????? ?? t?tt ??60 式中 V ttu d V t t????? ????????? — 時 刻 控 制 體 中 所 有 質(zhì) 點(diǎn) 的 動 量 ；? ??? ??1AdAuut ??? —非原流體系統(tǒng)經(jīng)控制面 A1流入的動量 。 于是 ? ? ? ??????????? ???????????????????? ?????????????? AtVttVtdAuutdVudVutdt nmdF ?????????1l i m0? ?VAF u d V u u d At ???? ? ??? ??? ??歐拉法表示的動量方程。當(dāng)定 常流動時，該項(xiàng)為零。因 為從控制體流出的動量為正，流出控制體的動 量為負(fù)，所以該項(xiàng)也可以說是單位時間內(nèi)控制 體流出動量與流入動量之差（凈流出的流體動 量）。把流線方向取為自然坐標(biāo) s 的正向，取如圖中虛線所示的總流流束為控制體，則總控制體表面上有動量交換。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測定值約為 ～ ，近似于 l，所以為計(jì)算方便，在工程計(jì)算中通常取 β ＝ 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?212 2 1 12 1 2 1AAAF v n v d A v v n d A v v n d AQ v v Q v v? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?不可壓縮流體，控制體動量方程可化簡為 66 一維流 ? ?1221112222VVmFVAVAF?????????具有多個一維出入口的控制體 ??? ?? FVV ii iniouti mm )()( ??67 注意 : (1) 控制體的選取 (2) 或 代表流出平均速度 矢量 2V outV 或 代表流入平均速度 矢量 1V inV(3) 動量方程中的 負(fù)號 是方程本身具有的 , 和 在坐標(biāo)軸上投影式的正負(fù)與坐標(biāo)系選擇有關(guān) outV inV(4) 包含所有外力 (大氣壓強(qiáng) ) ?F68 定常時 勻速運(yùn)動控制體 坐標(biāo)系固定在勻速運(yùn)動的控制體上 rr vv (?? ?是相對速度 ),輸運(yùn)公式為 有多個一維出入口時 Fnvvv rrr ?????? ?? dA(dt CSCV )???( ) ( )r r o u t r r i n? ? ? ? ?m v m v F為作用在控制體上的合外力 F?Fnvv rr ???? dA(CS )?69 ? 在定常流動中，可以有某一段流體進(jìn)、出口的流速變化，而不需要知道這一流段的內(nèi)部情況，就可以求出流體所受外力的合力，即管壁對流體的作用力，從而求出流體對管壁的作用力。 ? 應(yīng)用時應(yīng)注意：適當(dāng)?shù)剡x擇控制面，完整地表達(dá)出控制體和控制面上的外力，并注意流動方向和投影的正負(fù)等。 注意速度、流率的正、負(fù) 動量方程的應(yīng)用步驟 選取適當(dāng)?shù)倪^流斷面與控制體 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 投影軸可任意選取，以計(jì)算方便為宜。 分析控制體動量變化，列動量方程 結(jié)合使用連續(xù)性方程及伯努利方程等求解 71 如下圖表示一水平轉(zhuǎn)彎的管路，由于液流在彎道改變了流動方向，也就改變了動量，于是就會產(chǎn)生壓力作用于管壁。 y11221P2p2u1u xR??水 平 彎 管 流體作用于彎管的力 72 現(xiàn)在我們用動量方程來確定這種作用力 在 x， y方向上分別應(yīng)用動量方程。 xR yR代入動量方程有 xyyx RRRRR 122 tg , ??? ?75 注意：若求解所取流體系統(tǒng)對壁面的作用力，則取絕對壓強(qiáng)，若求管（板）的受力，則選擇表壓強(qiáng)！ 必須注意，如果要考慮彎管的受力，因?yàn)閺澒芊胖迷诖髿庵校怨芡鈧?cè)受到大氣壓的作用。 這時理想流體的出流速度是 2AuQu ?? ? 2 、 射流的背壓（反推力） 2u g h?F ? A uh 射 流 的 背 壓 這一瞬時，容器由流體水平方向的動量變化將決定于單位時間內(nèi)由容器流出來的動量 78 表明： 射流反推力（背壓）的大小恰好等于出流孔處的流體靜壓力的兩倍。 火箭、衛(wèi)星、飛機(jī)等運(yùn)動原理 A g hAuF ?? 22 ??根據(jù)動量定理，這一動量變化當(dāng)然在大小上、方向上、位置上恰好等于器壁在水平方向加在流體上的壓力合力。這個力的大小也就等于容器內(nèi)流體的動量變化率，即 79 求射流對彎曲對稱葉片的沖擊力計(jì)算公式 解 : （ 1）對于噴嘴和葉片均為固定的情況： 射流的壓強(qiáng)等于周圍氣體的壓強(qiáng)，根據(jù)能量方程式，如果不計(jì)水頭損失，各斷面流速值應(yīng)保持不變。汽輪機(jī)的葉片形狀就是以提高射流的推力，如片的轉(zhuǎn)角都大于因此在工程中有許多葉倍。 44 理想流體的運(yùn)動微分方程 The moment equation of idea fluid 83 考慮如下圖所示的邊長為 dx,dy,dz的微元直角六面體，其中角點(diǎn) A坐標(biāo)為 A(x,y,z) ，作用在此直角六面體上的外力有兩種： 表面壓力和質(zhì)量力 。現(xiàn)在我們分析一下流體微團(tuán)的受力及運(yùn)動之間的動力學(xué)關(guān)系，建立理想流體動力微分方程，即 歐拉方程 。 只考慮 x 軸方向受力分析： 2dx ppx??? 和 2dx ppx???表面力為： 11( ) ( )22ppp d x d y d z p d x d y d zxx??? ? ?質(zhì)量力為： xf dxdydz? 利用泰勒級數(shù) ， ABCD和 EFGH中心點(diǎn)處的壓強(qiáng)分別為： 慣性力為： xdud x d y d z dt?歐拉運(yùn)動微分方程 86 根據(jù)牛頓第二定律得 x 方向的運(yùn)動方程式為 dtdud x d y d zd x d y d zxpd x d y d zf xx ?? ????上式簡化后得 dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx???????????????111同理可得 xx maF ?87 展開隨體導(dǎo)數(shù)，則有 上面二式即是理想流體運(yùn)動的微分方程式，也叫做歐拉運(yùn)動微分方程式。 也是 x， y， z的函數(shù)，一般是已知的。 44 伯努利方程及其應(yīng)用 Bernoulli Equation 90 在一般情況下，作用在流體上的質(zhì)量力 fx、 fy和 fz 是已知的，對理想不可壓縮流體其密度 ρ為一常數(shù)。 ?運(yùn)用上面得到的運(yùn)動微分方程求解各種流動問題時，需要對運(yùn)動方程進(jìn)行積分，但由于數(shù)學(xué)上的困難，目前還無法在一般情況下進(jìn)行。 Euler運(yùn)動微分方程組 91 1. 無粘（理想）動量方程 伯努利方程的導(dǎo)出 uutupf ???????????? .1?? ? ? ?uuuuuu ?????? ???????? 21.2. 定常流動 0??? tu?fpuu??????????.利用變換 92 改寫成 伯努利方程的導(dǎo)出 ? ? ? ? fpuuuu ?????? ???????????213. 沿流線。 元流段的動能增量 : 222 1 2 12 2 1 1 ()2 2 2 2u u u ud A u d t d A u d t d Q d tgg? ? ?? ? ? 重力所作的功為： 1 1 1 2 2 2 1 2()g d A d s d t z g d A d s d t z d Q d t z z? ? ?? ? ?根據(jù)動能定理 壓力所作的功為： 1 1 1 2 2 2 1 2()p d A u d t p d A u d t d Q d t p p? ? ?2221 1 2 1 2( ) ( ) ( )22uud Q d t d Q d t z z d Q d t p pgg?? ? ? ? ? ?得： 1 1 2 21222p u p uzzgg??? ? ? ? ?(418) 用微元流束分析法推導(dǎo)出不可壓縮均質(zhì)理想流體恒定元流的伯努利方程 96 Bernoulli方程 ? 成立條件 1. 無粘理想流體 2. 定常流 3. 沿同一流線 4. 重力場 5. 不可壓（正壓流場） Cupgz ??? 22?Cupgz ??? 22??Cgugpz ??? 22??單位質(zhì)量流體 ?單位體積流體 ?單位重量流體 97 ? 有旋，沿同一流線積分 同一流線常數(shù)相等，不同流線常數(shù)不同 gugpzgugpz2222222111 ????? ??Bernoulli方程 特例靜止流體， V=0，即靜力學(xué)基本方程 con s tpz g????無旋 流場所有常數(shù)都相等 98 Bernoulli方程的物理意義 ? 不可壓理想流體在重力場中作定常流動時，同一流線上各點(diǎn)的單位重量流體的總機(jī)械能時守恒的，但動能、壓力勢能和位置勢能是可以相互轉(zhuǎn)換的 ?動量方程沿流線積分而來 —— 能量方程 單位重量流體所具有的重力勢能 單位 重 量流體的動能 單位 重 量流體的壓力能 Cgugpz ??? 22?99 Bernoulli方程的幾何意義 ? 不可壓理想流體在重力場中作定常流動時，同一流線上各點(diǎn)的單位重量流體的總水頭為常數(shù)，但位置水頭、壓力水頭和速度水頭是可以相互轉(zhuǎn)換的 b c 1 a a39。 b39。常用于測量河道、明渠、風(fēng)管中的流速，還可測量物體在流體中的運(yùn)動速度，如船舶、飛機(jī)等的航行速度的測量。探頭端點(diǎn) A處開一小孔與內(nèi)套管相連，直通壓差計(jì)的一肢；外套管側(cè)表面沿圓周均勻地開一排與外管壁相垂直的小孔 (靜壓孔 )，直通壓差計(jì)的另一肢。流體的速度接近探頭時逐漸減低，流至探