高等代數(shù)--第九章歐幾里得空間-在線瀏覽
2025-03-09 13:15本頁面
【正文】 正交基 定義 6 歐氏空間 V中一組非零的向量，如果它們兩兩正交，就稱為一 正交向量組 。 正交向量組是線性無關(guān)的 。這就證明了 是線性無關(guān)的。這個事實的幾何意義是清楚的。 定義 7 在 n維歐氏空間中，由 n個向量組成的正交向量組稱為 正交基 ；由單位向量組成的正交基稱為 標準正交基 。 設(shè) 是一組標準正交基，由定義，有 顯然， (1)式完全刻劃了標準正交基的性質(zhì)。在 n維歐氏空間中，標準正交基是存在的。,1),(??????jijiji 當當?? 在標準正交基下，向量的坐標可以通過內(nèi)積簡單地表示出來，即 事實上 ，設(shè) 用 與等式兩邊作內(nèi)積，即得 在標準正交基下，內(nèi)積有特別簡單的表達式。),( 2211 YXyxyxyx nn ????? ??? 下面我們將結(jié)合內(nèi)積的特點來討論標準正交基的求法。 證明 設(shè) 是一正交向量組 ,我們對 nm作數(shù)學(xué)歸納法。 假設(shè) nm=k時定理成立，也就是說，可以找到向量 ，使得 成為一組正交基。因為 mn，所以一定有向量 不能被 線性表出 ,作向量 這里 是待定的系數(shù)。因此 是一正交向量組，根據(jù)歸納法假定， 可以擴充成一正交基。 定理的證明實際上也就給出了一個具體的擴充正交向量組的方法。 首先，將向量組正交化： 取 n??? , 21 ?, 21 ???n? n??? , 21 ?.,2,1),(),( 2121 niLL ii ??? ?? ??????n??? , 21 ?11 ?? ?1111,222 ),()(??????? ?? ??.),(),(111??????niniiinnn ??????? 單位化 niiii ,2,1||??????.),(),(1111 ????? ??miiiiimmm ??????? 定理 4中把一組線性無關(guān)的向量變成一組單位正交的向量組的方法在一些書和文獻中稱做施密特 (Schmidt)正交化過程。 先把它們正交化，得 )1,1,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),0,0,1,1(4321??????????? 再 單位化，得 ).1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(),1,31,31,31(),(),(),(),(),0,1,21,21(),(),(),0,0,1,1(33334222241111444222231111333111122211????????????????????????????????????????????????????????),0,0,21,21(1 ?? 設(shè) 與 是歐氏空間 V中的兩組標準正交基 ,它們之間的過渡矩陣是 ， ).21,21,21,21(),123,121,121,121(),0,62,61,61(432??????????n??? , 21 ? n??? , 21 ?)( ijaA ?即 因為 是標準正交基，所以 矩陣 A的各列就是 在標準正交基 下的坐標。 , ( 6)A A E?39。 .TA A E? 最后我們指出，根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)，由 即得 寫出來就是 (5)式是矩陣列與列之間的關(guān)系， (7)式是行與行之間的關(guān)系，這兩組關(guān)系是等價的。 TA A E?.TA A E?)7(.,0,12211 ?????????jijiaaaaaajninjiji 當當?BACK 歐式空間 同構(gòu) 定義 8:實數(shù)域 R上歐氏空間 V與 V′稱為同構(gòu)的 ,如果由 V到 V′有一個 11的映上的映射 ,適合 這里 , 映射 稱為 V到 V′的同構(gòu)映射 . ?, V k R?? ??( 1 ) ( ) ( ) ( )( 2) ( ) ( )( 3 ) ( ( ) , ( ) ) ( , )kk? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? 由定義立即看出 ,如果 是歐氏空間 V到V′的一個同構(gòu)映射 ,那么 也是 V到 V′作為線性空間的同構(gòu)映射 .因此 ,同構(gòu)的歐氏空間必有相同的維數(shù) . 設(shè) V 是一個 n維歐氏空間 ,在 V中取一組標準正交基 在這組基下 ,V的每一個向量 都可以表成 令 ., 21 n??? ?nnxxx ???? ???? ?221112( ) ( , , , )nnx x x R?? ????? 我們知道 ,這是 V到 Rn的一個 11的映上的映射 ,并且適合定義中條件 1),2) ,3), 因而 是 V到 Rn的一個同構(gòu)映射 ,由此可知 ,每一個 n
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