【正文】 計出版社 根據(jù)分組標志的特征的不同，分布數(shù)列可分為品質數(shù)列和變量數(shù)列兩種。 2. 變量數(shù)列 變量數(shù)列是指按數(shù)量標志分組形成的，用以反映現(xiàn)象總體的某一數(shù)量分布狀況的數(shù)列。 1. 單項式變量數(shù)列 它是指變量數(shù)列中的每個組只用一個變量值表示。 立信會計出版社 (二 ) 分布數(shù)列的編制 （ 1） 計算全距。 （ 3） 確定組距。 （ 5） 計算組中值。將統(tǒng)計工作過程中所取得的 各種數(shù)字資料 ，經(jīng)過匯總整理 后，按一定的 項目和順序 填列在一定表格內，這種表格就稱為統(tǒng)計表 。 （一） 統(tǒng)計表的形式 立信會計出版社 （二） 統(tǒng)計表的內容 主詞是統(tǒng)計表所 要說明的對象 ，包括總體單位的名稱或總體的分組等。 賓詞是 用來說明 主詞的 各種統(tǒng)計指標 的。主詞和賓詞有時為了合理編排，也可以互換位置。 分組表是指主詞按某一標志分組并按一定順序排列所形成的統(tǒng)計表。 立信會計出版社 （四） 統(tǒng)計表的設計 統(tǒng)計表上下兩端以 粗線 或 雙線繪制 ，稱為 上基線 和 下基線 ，其他線一般用細直線。 統(tǒng)計表中各主詞項目之間、各賓詞項目之間的順序應該根據(jù)時間的先后、數(shù)量的大小、空間的位置、指標之間的邏輯順序等合理編排。 立信會計出版社 六、 頻數(shù)圖 統(tǒng)計圖是統(tǒng)計資料的另一種常用的表達方式，它比統(tǒng)計表更直觀、更鮮明、更生動。 （一） 直方圖 （二） 折線圖 立信會計出版社 （三）曲線圖 曲線圖是在變量值增多及變量數(shù)列的組數(shù)增多時，對折線圖的極限描繪，是一種理論曲線，也是連續(xù)變量的頻數(shù)或頻率分布的函數(shù)關系圖。為了 進一步 掌握數(shù)據(jù)分布特征的 變化規(guī)律 ，有必要對其進行進一步的討論及研究。本章將進一步討論統(tǒng)計描述內容中的 集中趨勢 和 離散趨勢 。它是所有數(shù)據(jù)的 中心點 ，反映了一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向。 第二， 平均數(shù)用一個代表數(shù)值來說明被研究對象某個方面的一般水平。它是全部數(shù)據(jù)的算術平均，是 集中趨勢 的最主要測度值。根據(jù)掌握的資料條件不同，算術平均數(shù)又可以分為以下幾種。設總體數(shù)據(jù)為 x1, x2,?, xn,則總體均值 x的計算公式為： 式中 表示總體均值； x表示總體各變量值； n表示總體變量值個數(shù)； ∑ 表示求和符號。設原始數(shù)據(jù)被分成 K組，各組的變量值為 x1 ,x2， ?, xk , 各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)（權數(shù)）為 f1,f2,?, fk。 x????????????????fxfffffxfxfxxnnn212211立信會計出版社 （ 1） 根據(jù)單項數(shù)列計算加權算術平均數(shù)。 （ 2） 根據(jù)組距數(shù)列計算加權算術平均數(shù)。 立信會計出版社 （ 3） 根據(jù)相對權數(shù)計算加權算術平均數(shù)。兩種權數(shù)雖表現(xiàn)形式不同，但其本質無異，在同樣資料條件下，計算結果應該一致。 權數(shù)愈大 ，其對應的變量值對算術平均數(shù)的 影響愈大 ；反之，則愈小，權數(shù)的大小對算術平均數(shù)的大小起著權衡輕重的作用。 立信會計出版社 4. 算術平均數(shù)的數(shù)學性質 （ 1）各變量值與其算術平均數(shù)的離差之和等于零，即 ∑ （ xX） =0 （ 2）各變量值與其算術平均數(shù)的離差平方之和為最小，即 ∑ （ xX）＾ 2為最小值 立信會計出版社 （二） 調和平均數(shù) 調和平均數(shù)是根據(jù) 變量值倒數(shù) 計算的一種算術平均數(shù)，也稱 倒數(shù)平均數(shù) 。 立信會計出版社 1. 簡單調和平均數(shù) 簡單調和平均數(shù)往往是根據(jù)未分組資料計算的。 ????xnnxx h111立信會計出版社 加權調和平均數(shù)是根據(jù)分組資料計算的。 ?????xfnnfxx h 11立信會計出版社 （三） 幾何平均數(shù) 幾何平均數(shù)是 n個變量值連乘積的 n次方根，根據(jù)所依據(jù)的資料不同，也可分為簡單幾何平均數(shù)和加權幾何平均數(shù)。 nn xxnxxgx ??? ?21gx立信會計出版社 (四 ) 中位數(shù) 將總體各單位的某一變量值 按大小順序排列 ，位于 中間位置 上的變量值即為 中位數(shù) 。從這個意義上說，中位數(shù)以其居中的位置，代表了 經(jīng)濟現(xiàn)象 某一方面的 一般水平 。 立信會計出版社 1. 未分組資料 在未分組資料條件下，中位數(shù)的計算，關鍵在于確定中位數(shù)的位置，其公式為： 中位數(shù)位置 =（ n+1） /2（ n為數(shù)據(jù)的項數(shù)）。 立信會計出版社 設一組數(shù)據(jù) x1， x2， ? ， xn，從小到大排序后為 x(1)， x(2)， ? ， x(n) 若 n為 奇數(shù) ，則中位數(shù)為 若 n為 偶數(shù) ，則中位數(shù)為 21?? nxMe?????????12221 nxnxMe立信會計出版社 2. 分組資料 分組資料條下，中位數(shù)的計算，仍要先確定中位數(shù)的位置，即確定中位數(shù)所在的組，然后，用下限公式求出中位數(shù)的近似值。 ifSnLMemm????? 12立信會計出版社 (五 ) 眾數(shù) 眾數(shù)是指總體中 出現(xiàn)次數(shù)最多 的變量值 ,它能夠鮮明地反映數(shù)據(jù)分布的 集中趨勢 。在商業(yè)活動中，眾數(shù)應用較為普遍。 1. 未分組資料 在未分組資料條件下，只要用目測法找出次數(shù)最多的變量值即找到眾數(shù)。 式中 M0為眾數(shù)； L為眾數(shù)組下限； d1為眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差； d2為眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差； i為眾數(shù)組的組距。 （ 1） 運用眾數(shù)、中位數(shù)、算術平均數(shù)三者關系判斷現(xiàn)象的數(shù)量分布特征。 立信會計出版社 因此 ,不難看出： 當數(shù)據(jù)呈 對稱分布 時 , 算術平均數(shù)、 中位數(shù)、 眾數(shù)必定相等，即有 X=Me=M0； 當數(shù)據(jù)呈 左偏分布 時 , 算術平均數(shù)小于中位數(shù)且小于眾數(shù)，即有 X＜ Me＜ M0； 當數(shù)據(jù)呈 右偏分布 時 ,算術平均數(shù)大于中位數(shù)且大于眾數(shù)， 即有 X＞ Me＞ M0。 從經(jīng)驗看，在數(shù)據(jù)分布偏斜程度不大的情況下，不論左偏或右偏、算術平均數(shù)、中位數(shù)、 眾數(shù)存在一定的比例關系：若把眾數(shù)與 算術平均數(shù)之間的距離作為 1，則中位數(shù)與算術平均數(shù)的距離為 1/3，中位數(shù)與眾數(shù)之間的距離為 2/3。反映現(xiàn)象離散趨勢的統(tǒng)計指標為標志變異指標。但 集中趨勢 只從一個側面說明了數(shù)據(jù)的分布特征，各變量值之間的差異程度如何，各變量值遠離其平均數(shù)的程度如何，需要我們從另一個側面，即數(shù)據(jù)的 離散程度 方面來進一步討論數(shù)據(jù)的分布特征。 標志變異指標 在統(tǒng)計分析中的作用有： （ 1） 可以衡量平均數(shù)的代表性。 立信會計出版社 二、 標志變異指標的計算 常用的標志變異指標有極差、平均差、方差和標準差及標準差系數(shù)等。在組距式數(shù)列中，級差是最高組上限與最低組下限之差。用公式表示為： R=xmaxxmin 式中 R表示極差； xmax與 xmin分別表示數(shù)據(jù)的最大值和最小值。由于各標志值與其算術平均數(shù)離差總和等于零，因此，要用離差的絕對值來計算平均差。 ? ??? ????? ???? ffxxf fxxDA DA或立信會計出版社 （三） 方差和標準差 方差是各變量值與其算術平均數(shù)離差平方的平均數(shù)。 設總體方差為 σ ＾ 2，對未分組數(shù)據(jù)，總體方差的計算公式為： nxx? ??22 )(?立信會計出版社 對分組數(shù)據(jù)，總體方差的計算公式為： 設總體的標準差為 σ ，對未分組數(shù)據(jù)，總體標準差的計算公式為： 對分組數(shù)據(jù)，總體標準差的計算公式為： nxx? ?? 2)(??? ??ffxx 2)(?? ???? ffxx 22 )(?立信會計出版社 （四） 離散系數(shù) 極差、平均差、標準差都是反映標志變異程度有計量單位的 絕對數(shù)指標 ，總體和樣本的標志變異程度除了受變量值之間的離散程度影響外，還 受變量值本身水平高低的影響 ，因此，在比較不同總體和樣本的標志變異程度時，應消除由于變量值水平不同或計量單位不同帶來的影響。 立信會計出版社 常用的離散系數(shù)主要有標準差系數(shù)，也稱均方差系數(shù)。離散系數(shù)大，說明該組數(shù)據(jù)的離散程度大； 離散系數(shù)小，說明該組數(shù)據(jù)的離散程度也就小。 當一組數(shù)據(jù)中 ,X＞ Me＞ M0我們稱數(shù)據(jù)為 右偏分布 。 立信會計出版社 有時，同為右偏分布或左偏分布的兩組數(shù)據(jù)，需比較偏態(tài)程度的大小，可運用皮爾遜偏度系數(shù)來測定偏態(tài)程度的大小。 sMexSk)(3 ??立信會計出版社 偏態(tài)系數(shù)的取值范圍一般介于 +3與 3之間 當 Sk=0時，表明數(shù)據(jù)為 對稱分布 ； 當 Sk＞ 0時，表明數(shù)據(jù)為 右偏分布 ； 當 Sk＜ 0時，表明數(shù)據(jù)為 左偏分布 。在這些科學實驗中往往會出現(xiàn)兩種現(xiàn)象：一類是 確定性現(xiàn)象 ；另一類是 隨機現(xiàn)象 。 立信會計出版社 與上述相反，在眾多的觀察和實驗中，我們常常會遇到這樣的情況：在相同的試驗條件下，對同一個研究對象反復地進行多次觀察和試驗，所得到的結果竟是不確定的，我們稱這類現(xiàn)象為 隨機現(xiàn)象 。如前所述，在一定的條件下進行某項試驗，某事件 A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，則事件A就稱作隨機事件。為了完整地理解概率的涵義，先解釋一個概念 —— 頻率 。那么，頻率和概率有什么關系呢？我們知道，隨機事件在某次試驗中可以發(fā)生或不發(fā)生，但經(jīng)過大量的無數(shù)次的試驗后，它會呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性，即其 頻率趨于穩(wěn)定 。由此，可以給出概率的定義： 隨著隨機試驗次數(shù) n的增加，事件 A出現(xiàn)的頻率 m/n穩(wěn)定在某個常數(shù) P，則事件 A的概率記作： P（ A） =P 立信會計出版社 對任一隨機事件 A，其概率總是介于 0~1之間的數(shù)，即有： 0≤P（ A） ≤1 當 P（ A） =0時，表示出現(xiàn)事件 A的可能性等于零，也就是說，事件 A是 不可能事件 ；當P（ A） =1時，表示有 100%的可能性出現(xiàn)事件 A，即事件 A是 必然事件 。在講述加法公式之前，我們先要了解事件的并和事件的交兩個概念。記作 A∪B 。記作 A∩B 。 互斥事件的加法公式為： P（ A∪B ） =P（ A） +P（ B） 立信會計出版社 （二） 條件概率 當我們知道事件 B已經(jīng)發(fā)生的概率的條件下，再要求得事件 A發(fā)生的概率時，這種概率我們稱為 條件概率 ，記作 P（ A|B）。我們用 X表示在隨機試驗中所發(fā)生的每一種試驗結果。 立信會計出版社 隨機變量在試驗中可取得的值分為兩類： 一類是在試驗中可以取得有限個或可列舉的數(shù)值，稱為 離散型隨機變量 ； 另一類是在試驗中其結果可以取得某一區(qū)間內的任何數(shù)值，稱為 連續(xù)型隨機變量 。但是，如果要掌握 X的統(tǒng)計分布規(guī)律，僅僅知道隨機變量可能取哪些值是不夠的，而更應該知道 取這些值的概率是多少 。所謂 概率分布 ，就是用圖形或公式來描述隨機變量的可能取值及其所對應的概率。 ?????xxiixPxXPxF )()()(立信會計出版社 三、 二項分布 在實際問題中，許多隨機實驗 只有兩種結果 ：成功或者失敗。如果在相同條件下進行 n次貝努里試驗，則稱為二項試驗。 （ 2） 每次試驗有兩種可能結果，一個成功，一個失敗。成功和失敗的概率在每次試驗中都相同。 立信會計出版社 二項分布的概率函數(shù)是： 其中： P是參數(shù)（即成功的概率）， 0P1； n是試驗次數(shù)，且 n0； x是成功的次數(shù)， x=1， 2， ? ， n。 泊松分布的概率函數(shù)是： 其中 λ 是參數(shù)（ λ =np）， 0λ ∞ ， x=1， 2， ? ， n。我們不可能將所取的數(shù)值一一列舉，也無法像離散型隨機變量那樣一一指明變量 X取一切可能取的值 xi時的概率值，而只能用連續(xù)的函數(shù)來進行描述。 可以看到， X取值在某區(qū)間［ c,d］之間的概率等于 f(x)下從 c到 d的曲邊梯形面積，如圖48中的陰影部分。其中，正態(tài)分布是統(tǒng)計學中十分普遍和非常重要的分布。 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為： 其中， μ 和 σ 是參數(shù)， μ 是 X的平均值， σ是 X的標準差。 （ 2） f(x) 0，且以 X為漸近線。 （ 4） σ 越大，曲線越平緩； σ 越小，曲線越陡峭。而對于具有任意平均數(shù) μ 和標準差 σ 的正態(tài)分布時，我們可以通過將其轉換成標準正態(tài)分布來計算其概率問題，其轉換公式為： ????xz立信會計出版社 第五章 抽樣估計 新世紀財經(jīng)系