[工學(xué)]4-留數(shù)定理-在線瀏覽
2025-03-08 10:45本頁(yè)面
【正文】 12 例 2： 求 的極點(diǎn)，以及在極點(diǎn)上的留數(shù)。( s i n)39。 )10( 21||2 ?????????z zzdz14 解：尋找被積函數(shù)在 單位圓內(nèi) 的極點(diǎn)，即它的 分母在單位圓內(nèi)的零點(diǎn) 。 ? ? 22121221l i m)39。 解：①單極點(diǎn) z=ia, ②單極點(diǎn) z=ia, 22 azeiz?iaeiazeiasf aiziaz 2)(l i m)(Re?????iaeiaeiazeiasf aaiziaz 22)(l i m)(Re ?????????ias haiaeeiasfiasfsf aa ???????? ?2)](Re)([Re)(Re ③本性奇點(diǎn) z=∞ ， 16 例：求 f(z) = z/(z1)的 Res f(∞) 解：將 f(z)以 z= ∞為展開中心，在 展開 ??? z1????????? 21111111)(zzzzzzf所以 ， Res f(∞)=a1=1 另： f(z) = z/(z1)，在有限遠(yuǎn)的僅有單極點(diǎn) z=1，而 Res f(1)=1 Res f(∞)+ Res f(1)=0 所以， Res f(∞)=1 本節(jié)作業(yè)：第 55頁(yè) 第 1題（ 2， 5）； 第 2題（ 2， 3）。 應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分 實(shí)變函數(shù)積分 ?復(fù)變函數(shù)的回路積分 基本思想 : 將在區(qū)間 l1=[a, b] 的 實(shí)變函數(shù)積分與復(fù)平面上的回路積分聯(lián)系起來(lái) ??badxxfI )(可以看做 復(fù)變函數(shù)線積分的特例 ,即是復(fù)變函數(shù)在實(shí)軸上的線積分。 18 方法一、通過(guò)變量變換，把 區(qū)間l1=[a, b]映射成復(fù)平面的回路， 把實(shí)數(shù)積分變成 復(fù)平面的回路積分。 實(shí)函數(shù)必須 解析延拓 到復(fù)平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中，而實(shí)積分 成為回路積分的一部分。 19 類型一： 其中：（ 1） R(cosx, sin x) 是 sinx, cosx 的有理式； （ 2）積分區(qū)間是 [0, 2?]； (3) 在區(qū)間 [0, 2?]內(nèi)，無(wú)奇點(diǎn)。 ??20)s i n,(c os dxxxR ???? ??111)2,2(z izdzizzzzR例 1 10,c os120???? ? ???xdxI解 ????? ??????1211 2221/zz zzdzizzizdzI???22 1212???????? iiI21 類型二： 其中： (1) 積分區(qū)間是 (?, +? )。 ???? dxxf )(22 積分主值概念： 反常積分 定義為 當(dāng) R1=R2 時(shí)， 稱為 I 的積分主值 一般，積分主值存在，不一定反常積分存在，反之，如果反常積分存在，積分主值一定存在！本類型積分要計(jì)算的是積分主值。 ? ? ?? ??L R R C R dzzfdxxfdzzf )()()(?? ?????n1)( R e s2)()(kkRR CbfidzzfdxxfR? R ? +R x y CR ? bk o R 24 0|)(|m a x|)(|m a x|||||)(|)()(?????? ???zzfRRzzfzdzzzfzdzzzfdzzfRRR CCC??? ????? ??nkkbfidxxf)(1)( Re s2)(上半平面?所以 25 例 3 計(jì)算 。212 ?? ????????iiI???? ?? 21 xdxI解： 26 類型三 ： ?? ???? 00 ,d s i n)( ,d c os)( xmxxGxmxxF（ 1）積分區(qū)間 [0, +∞] ， （ 2）偶函數(shù) F(z) 和奇函數(shù) G(z)在實(shí)軸上 無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn) （ b1, b2
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