【正文】 z z ? （平面 ） P 直角坐標(biāo)系 xe?ze?ye?x y z 直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 o d z d y d x zyeS xx ddd ?? ?yxeS zz ddd ?? ?zxeS yy ddd ?? ?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 二、矢量分析 圓柱坐標(biāo)系 d d d d dd d d d dd d d d dzzz z zS e l l e zS e l l e zS e l l e? ? ? ?? ? ? ???????????????,z??坐標(biāo)變量 ,ze e e??坐標(biāo)單位矢量 zr e e z? ???位置矢量 d d d dzr e e e z??? ? ?? ? ?線元矢量 d d d dVz????體積元 面元矢量 圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元 圓柱坐標(biāo)系 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 二、矢量分析 說(shuō)明： 圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法： z z z zA e A e A e A B e B e B e B? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )z z zA B e A B e A B e A B? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?( ) ( )z z z zzzA B e A e A e A e B e B e BA B A B A B? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?( ) ( ) ( )zzzz z z z ze e eA B A A AB B Be A B A B e A B A B e A B A B??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?加減： 標(biāo)積： 矢積： HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 二、矢量分析 球面坐標(biāo)系 2d d d s i n d dr r rS e l l e r?? ?????d d d s i n d drzS e l l e r r? ? ? ????d d d d drS e l l e r r? ? ? ? ???球坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元 ,r ??坐標(biāo)變量 ,re e e??坐標(biāo)單位矢量 rr e r?位置矢量 d d d s in drr e r e r e r??? ? ?? ? ?線元矢量 2d s i n d d dV r r? ? ??體積元 面元矢量 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 二、矢量分析 說(shuō)明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算： r r r rA e A e A e A B e B e B e B? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )r r rA B e A B e A B e A B? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?( ) ( )r r r rrrA B e A e A e A e B e B e BA B A B A B? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?( ) ( ) ( )rrrr r r r re e eA B A A AB B Be A B A B e A B A B e A B A B??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?加減： 標(biāo)積： 矢積： HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 二、矢量分析 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xe? ye? ze??e??e?ze??cos ?sin 0?cos?sin? 00 0 1直角坐標(biāo) 與 圓柱坐標(biāo)系 ?e? ?e? ze?re??e??e??sin 0 ?cos?sin??cos 00 01圓柱坐標(biāo) 與 球坐標(biāo)系 直角坐標(biāo) 與 球坐標(biāo)系 ze?re??e??e??? co ssin ?cos?sin??? sinc o s?0xe? ye??? sinsin?? sinco s?cos?sin?o φ x y 單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 φ xe?ye??e??e?o θ r z 單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 θ θ ze??e?re??e?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 二、矢量分析 三種坐標(biāo)系有不同適用范圍： 直角坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈 面對(duì)稱分布 的問(wèn)題求解，如無(wú)限大面電荷分布產(chǎn)生電場(chǎng)分布。 球面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈 點(diǎn)對(duì)稱分布 的問(wèn)題求解，如點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)分布。 例如 ：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。 例如 ：流速場(chǎng) 、 重力場(chǎng) 、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。 時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、 ( , , , )F x y z t 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè) 場(chǎng) 。即若標(biāo)量函數(shù)為 ，則等值面方程為： ( , , )u u x y z?( , , )u x y z c c on st?? 方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場(chǎng)空間中， 某點(diǎn)處 場(chǎng)值沿 特定方向 變化的規(guī)律。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 若函數(shù) φ=φ(x, y, z)在點(diǎn) M0(x0, y0, z0)處可微 ， cosα、 cosβ、 cosγ為 l方向的方向余弦 ， 則函數(shù) φ在點(diǎn) M0處沿 l方向的方向?qū)?shù)必定存在 ，且為 ??????? c osc osc os0zxxl M ??????????? 證明： M點(diǎn)的坐標(biāo)為 M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)， 由于函數(shù) φ在 M0處可微 ， 故 0( ) ( )M M x y z lx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 兩邊除以 ，可得 c o s c o s c o sx y zl x l y l z lx y z? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?當(dāng) ρ趨于零時(shí)對(duì)上式取極限，可得 ??????? c osc osc os zyxl ???????????l?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 方向?qū)?shù)物理意義： 00Mul? ??，標(biāo)量場(chǎng) 在 處沿 方向增加率； u0M00Mul? ??，標(biāo)量場(chǎng) 在 處沿 方向減小率； u0Mll00Mul? ??，標(biāo)量場(chǎng) 在 處沿 方向?yàn)榈戎得娣较颍o(wú)改變） u0Ml 方向?qū)?shù)的計(jì)算 c o s c o s c o su u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?—— 的方向余弦。 l?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 例 11 求數(shù)量場(chǎng) φ =(x+y)2z通過(guò)點(diǎn) M(1, 0, 1)的等值面方程 。其等值面方程為 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 例 13 求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn) M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù) 。 le 梯度的性質(zhì) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度為 矢量 ，且是坐標(biāo)位置的函數(shù) 標(biāo)量場(chǎng)梯度的幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的 最大增加率 標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向 垂直于 等值面，為標(biāo)量場(chǎng) 增加最快 的方向 標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)沿任意方向的 方向?qū)?shù) 等于 梯度在該方向投影 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 uHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 梯度的運(yùn)算 1zu u uu e e erz????? ? ?? ? ? ?? ? ?11s inru u uu e e er r r??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 直角坐標(biāo)系： ()xyxyzzu u ue e exg ra d ue e exzzuyy? ? ???? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?哈密頓算符 ?u?? 球面坐標(biāo)系： 11( ( ) )s inre e er r r?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 柱面坐標(biāo)系： 1()ze e erz????? ? ?? ? ? ?? ? ?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 0()()()( ) ( )CC u C uu v u vuv u v v uf u f u u????? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ??? 梯度運(yùn)算相關(guān)公式 式中： 為常數(shù)； C,uv 為坐標(biāo)變量函數(shù)； HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 矢量場(chǎng)的通量與散度 矢量線（力線） 矢量場(chǎng)的通量 矢量線的 疏密 表征矢量場(chǎng)的 大小 矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向 ()S F r d? ? ? S 若 矢量場(chǎng) 分布于空間中，在空間中存在任意曲面 S，則定義： ()Fr為 矢量 沿 有向曲面 S 的通量 。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 c o sns s sF d S F e d S F d S?? ? ? ?? ? ? 1) 面元矢量 定義：面積很小的 有向 曲面。 說(shuō)明： nedS2) 面元法向 的確定方法： 對(duì)非閉合曲面：由曲面邊線繞向按 右手螺旋法則 確定； 對(duì)閉合曲面：閉合面 外法線方向 ne 若 S 為閉合曲面 ()s rd? ? ?? AS物理意義：表示穿入和穿出閉合面 S的通量的 代數(shù)和 。 0?? 通過(guò) 閉合面 S的通量 的物理意義： 0?? 0?? 0??HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場(chǎng)論 、矢量場(chǎng)的散度 散度的定義 在場(chǎng)空間 中任意點(diǎn) M 處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為 ，則定