【正文】 jiki xx0????mijkix00( , ) ( )mk k i iiy x y???? ? ???miiki yx0用多項式 作為 的擬合函數(shù) ， 它的基函數(shù)為 則最小二乘多項式擬合的 法方程組 為 0 0 002110 0 0 0120 0 0 01m m mni i ii i im m m mni i i i ii i i inm m m mn n n ni i i i ii i i im x x yaax x x y xax x x y x? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (9) 最小二乘擬合多項式的存在唯一性 01, mx x x定理 1 設點 互異 ， 則法方程組 (9)的解存 在且唯一 。 0 2 4 6 8 10 12 14 164567891011tyyyy平方誤差為 四、利用最小二乘原理求解矛盾方程組 (不相容 ) 例如 求不相容方程組 12121212122 2 334xxxxxxxx????? ? ??????? ? ? ?? 應 用 求 解 舉 例1 t R R ttR例 測 得 溫 度 和 銅 導 線 電 阻 的 關(guān) 系 數(shù) 據(jù) 表 ， 試 確 定 和 的 近 似 表 達 式 . 解 M a tl a b利 用 作 圖 ：01R a a t??所 以 ( ) , ( )011t t t????x= [ 19 .1 ,2 5. 0, 30 .1 ,3 6. 0, 40 .0 ,4 5. 1, 80 .0 ]y = [ 76 .3 0, 77 .8 0, 79 .2 5, 80 .8 0, 82 .3 5, 83 .9 0, 8 5. 10 ]pl ot( x, y ,39。),Rt易 見 之 間 存 在 線 性 關(guān) 系...( , ) ....011 19 11 25 01 30 11 36 01 40 01 45 11 50 0G ??????????????????????????.......76 3077 8079 2580 8082 3583 9085 10R???????????????????????1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 TTGG? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?法 方 程 組 TTG G a G R? 017 2 4 5 .3 5 6 5 .52 4 5 .3 9 3 2 5 .8 3 2 0 0 2 9 .4 4 5aa??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ???解 得 017 0 . 5 7 2 , 0 . 2 9 1aa??所 以 7 0 .5 7 2 0 .2 9 1Rt??19. 1 25. 0 30. 1 36. 0 40. 0 45. 1 80. 076. 30 77. 80 79. 25 80. 80 82. 35 83. 90 85. 10tR()()011ttt????1 3 4 5 6 7 8 9 1010 5 4 2 1 1 2 3 4xy?例 已 知 一 組 實 驗 數(shù) 據(jù) 如 下 ， 求 它 的 擬 合 曲 線 . 解可 見 它 近 似 為 一 條 拋 物 線 .1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012345678910M a tl a b利 用 作 圖 :x= [ 1,3 ,4, 5,6 ,7, 8,9 ,10 ]y = [ 10 ,5, 4,2 ,1, 1,2 ,3, 4]pl ot( x,y ,39。),20 1 2y a a x a x? ? ?設 則( ) , ( ) , ( ) 20 1 21x x x x x? ? ?? ? ?( , , ) ,0 1 21 1 1 101 3 9 51 4 16 41 5 25 21 6 36 11 7 49 11 8 64 21 9 81 31 10 100 4Gy? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?TTG G a G y?由 法 方 程 組 : ，解 得0 1 21 3 . 4 5 9 6 6 , 3 . 6 0 5 3 1 0 . 2 6 7 5 7a a a? ? ? ?，所 以321471025TGy?????????9 53 38 153 38 1 30 1738 1 30 17 25 31 7TGG???????21 3 . 4 5 9 6 6 3 . 6 0 5 3 1 0 . 2 6 7 5 7y x x? ? ?M a t la b 中 多 項 式 曲 線 擬 合 命 令x= [ 1,3 ,4, 5,6 ,7, 8,9 ,10 ] 。n= 2。xi =l i ns pac e ( 1,1 0)。pl ot ( x,y ,39。,xi ,y ipo l y f i t,39。) 。 3 正交多項式曲線擬合 一、函數(shù)的最佳逼近 )}(,),(),({ 10 xxxs p a n n??? ???給定 線性無關(guān) 01( ) , ( ) , , ( ) [ , ]? ? ? ?nx x x C a b對 在 Φ中找 使得 ( ) [ , ]?f x C a b ()x??( ) ( ) m in ( ) ( )f x x x f x???? ? ?稱 為 在 [a, b]上的 最佳逼近函數(shù) 。 4 最佳平方逼近 ()?? b na x x dx預備知識： 連續(xù)函數(shù)空間 C [a,b] 1) 定義 1 設在區(qū)間 [a,b]上的 非負函數(shù) ρ(x)滿足： ⑴ 存在 ( 0 , 1 , )?n( ) 0? ?? ba x dx⑵ 則稱 ρ(x)為 [a,b]上的 權(quán)函數(shù) (權(quán) )。1 0 0 0f f f f f? ? ? ?且( ) ( , ) ( , ) 。f f g f g f g? ? ?1 2 1 23( ) ( , ) ( , ) .k f g k f g k R??4 ，其中( , ) ( ) ( ) ( )?? ? baf g x f x g x d x定義 2 設 是 [a,b]上的權(quán)函數(shù) ， 則 積分 稱為函數(shù) f (x),g(x)在 [a,b] ( ) , ( ) [ , ] , ( )??f x g x C a b x上以 ρ(x)為權(quán)函數(shù)的 內(nèi)積 。 ( ) ( ) ( ) 0ba x f x g x d x? ??定義 3 如果 f(x), g(x)∈ C [a, b]， 且滿足： 01{ ( ) , ( ) , ( ) , }kx x x? ? ?則稱 f(x)與 g(x)在 [a, b]上 關(guān)于權(quán) ρ(x)正交 ； 0,( ) ( ) ( )0,bjkakjkx x x d xA j k? ? ???? ?????則稱 是 [a, b]上 帶權(quán) ρ(x)的正交函數(shù)族 ； 若 [a, b]上的連續(xù)函數(shù)系 滿足 { ( )}k x?2. 正交函數(shù)族 01{ ( ) , ( ) , ( ) , }kx x x? ? ?0,( ) ( ) ( )0,bjkakjkx x x d