【正文】 1kk?? 輸入 n 輸出 p 結(jié)束 否 kn? （ B） AB ∥ 平面 SCD （ C） SA 與平面 SBD 所成的角等于 SC 與平面 SBD 所成的角 （ D） AB 與 SC 所成的角等于 DC 與 SA 所成的角 （ 9）設(shè)函數(shù) 122 , 1() 1 log , 1x xfx xx?? ??? ? ???? ， 則滿足 ( ) 2fx? 的 x 的取值范圍是 （ A） [1,2]? （ B） [0,2] （ C） [1, )?? （ D） [0, )?? （ 10）若 a ， b ， c 均為單位向量，且 0ab?? ， ( ) ( ) 0a c b c? ? ? ? ，則 ||a b c?? 的最大值為 （ A） 21? （ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 （ 11）函數(shù) ()fx 的定義域?yàn)?R ， ( 1) 2f ?? ，對(duì)任意 xR? ， ( ) 2fx? ? ，則 ( ) 2 4f x x??的解集為 （ A） (1,1)? （ B） ( 1, )? ?? （ C） ( , 1)??? （ D） ( , )???? （ 12）已知球的直徑 4SC? ， A ， B 是該球球面上的兩點(diǎn)， 3AB? ， 30ASC BSC? ? ? ?，則棱錐 S ABC? 的體積為 （ A） 33 （ B） 23 （ C） 3 （ D） 1 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分 。第 22 題～第 24 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。 （ 13）已知點(diǎn) (2,3) 在雙曲線 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?上， C 的焦距為 4 ，則它的離心率為 ． （ 14）調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入 x （單位：萬(wàn)元）和年飲食支出 y （單位：萬(wàn)元），調(diào)查顯示年收入 x 與年飲食支出 y 具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到 y 對(duì) x 的回歸直線方程： ? ??．由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加 1 萬(wàn)元，年飲食支出平均增加 ____________萬(wàn)元． （ 15）一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為 23，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是 ． （ 16）已知函數(shù) ( ) tan( )f x A x????（ 0?? ， ||2???）， ()y f x? 的部分圖像如下圖， 則 ()24f ? ? ． 三 . 解答題：解答應(yīng)寫文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。 做答是用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑 。 . 故 A， B， G， F 四點(diǎn)共圓 ???? 10 分 （ 23）解： （ I） C1 是圓， C2 是橢圓 . 當(dāng) 0?? 時(shí)，射線 l 與 C1， C2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（ 1， 0），（ a， 0），因?yàn)檫@兩 點(diǎn)間的距離為 2，所以 a=3. 當(dāng) 2??? 時(shí)，射線 l 與 C1， C2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（ 0， 1），（ 0， b），因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以 b=1. （ II） C1， C2 的普通方程分別為 22 2 21 1 .9xx y y? ? ? ?和 當(dāng)4???時(shí)，射線 l 與 C1 交點(diǎn) A1 的橫坐標(biāo)為 22x? ，與 C2 交點(diǎn) B1 的橫坐標(biāo)為3 ?? 當(dāng) 4???? 時(shí)，射線 l 與 C1， C2 的兩個(gè)交點(diǎn) A2， B2 分別與 A1， B1 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，因此， 四邊形 A1A2B2B1 為梯形 . 故四邊形 A1A2B2B1 的面積為 (2 2 )( ) 2 .25x x x x????? ???? 10 分 （ 24）解： （ I ） 3 , 2 ,( ) | 2 | | 5 | 2 7, 2 5 ,3 , 5.xf x x x x xx????? ? ? ? ? ? ? ????? 當(dāng) 25x?? 時(shí)， 3 2 7 ? ? ? ? 所以 3 ( ) ? ? ? ?????? 5 分 （ II）由（ I）可知， 當(dāng) 2x? 時(shí)， 2( ) 8 15f x x x? ? ? 的解集為空集； 當(dāng) 25x?? 時(shí)， 2( ) 8 15f x x x? ? ? 的解集為 { | 5 3 5}xx? ? ? ； 當(dāng) 5x? 時(shí)， 2( ) 8 15f x x x? ? ? 的解集為 { | 5 6}xx?? . 綜上，不等式 2( ) 8 15f x x x? ? ? 的解集為 { | 5 3 6}.xx? ? ? ???? 10 分 2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷） 數(shù)學(xué)（ 供 理科 考生使用 ）試題答案及解讀 一 ． 選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。解法一的作法是常規(guī)思路，看到分式型復(fù)數(shù) aii? ，自然想到通過(guò)分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的 a bi? 形式，然后再計(jì)算復(fù)數(shù)的模 ；解法二的作法是考慮到“ 分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù) ” 的目的是使分母實(shí)數(shù)化，直接選擇 2 1i ?? ，將分母進(jìn)行了實(shí)數(shù)化；解法三的作法是類比了實(shí)數(shù)里面絕對(duì)值的運(yùn)算法則： ||||||aabb?，想到了||||a bi a bic di c di??? 可能成立，而 ||i 非常好計(jì)算，從而確定的解題思路。故 M N M? 解法 2： 選 A. （特殊值法）不妨設(shè)集合 {1,2,3}I? ， {2,3}M? ，滿足 INM??餴 的非空集合 N 可以是 {2} ，此時(shí) {2, 3}M N M??。 與往年遼寧試卷在集合部分的高考試題相比，今年集合這道題目是對(duì)第一章中內(nèi)容的小綜合，并且所給的集合是一種抽象的集合，難度上略有提高，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力是一個(gè)檢驗(yàn)。由拋物線定義可知，I M N F A B C D G M N | | | |AF AC? ， | | | |BF BD? ，又 =3AF BF? ，故 | | | | 3AC BD??，在直角梯形 ACDB 中，MG 為 中 位 線 ， 其 長(zhǎng) 度 13| | ( | | | |)22M G A C B D? ? ?，又 1||4NG? ，所以3 1 5||2 4 4MN ???. 解法 2： 選 C. 設(shè) 2( , )AAA y y ， 2( , )BBB y y ，則 22( , )A B A By y y yM ??，故 222AByy? 即為所求 。 理科考試大綱及考試說(shuō)明中，對(duì)拋物線的要求都是“掌握”，而近三年的遼寧卷中，拋物線都是以選擇題的形式出現(xiàn)的（ 09 年未曾考察拋物線），希望 2022 屆的遼寧理科考生多做一做拋物線的解答題目。 這個(gè)題目不少學(xué)生見(jiàn)到 題目中的問(wèn)題 是 求邊長(zhǎng) 比 值 ，所以迫不及待 地 將題目中給的角都向邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)換，但是在轉(zhuǎn)換過(guò)程中，將 2si n si n c os 2a A B b A a??轉(zhuǎn)換成了2 2 222( ) 22b c aa b b abc????，這一步是錯(cuò)誤的，原因是 sinA 并不等于 a ，而是等于 2aR（其中 R 這個(gè)為三角形外接圓半徑）。縱觀全卷可以發(fā)現(xiàn)，原本在小題中數(shù)列問(wèn)題被放 在了解答題的第一個(gè)，說(shuō)明三角與數(shù)列的內(nèi)容是交替在選擇題與解答題中進(jìn)行考察。 事件 A 包括 “ 1與3 、 1與 5 、 3 與 5 、 2 與 4 ” 共四種情形；在事件 A 中，即 在這四種情形中， 事件 B 只有“ 2 與 4 ” 這一 種情形，故 1( | )4PB A ?. 點(diǎn)評(píng)： 本小題考察了分類分步計(jì)數(shù)原理，排列組合的概念，排列組合數(shù)公式，以及條件概率的概念，主要考察條件概率的概念。 開(kāi)始 0s? ， 1t? ， 1k? ， 1p? 是 p s t?? st? ， tp? 1kk?? 輸 入 n 輸出 p 結(jié)束 否 kn? 仔細(xì)考察一下題目中給的 p 形成的數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列是 “ 斐波那契 數(shù)列”。不難想到，程序框圖單獨(dú)一章命制試題的可能性越來(lái)越小，更多的是與其它章節(jié)相結(jié)合命制試題。對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力進(jìn)行了考察。 （ 8） 【解讀與點(diǎn)評(píng)】 如圖，四棱錐 S ABCD? 的底面為正方形， SD? 底面 ABCD ，則下列結(jié)論中 不正確 ． ． ． 的是 （ A） AC SB? （ B） AB ∥ 平面 SCD （ C） SA 與平面 SBD 所成的角等于 SC 與平面 SBD 所成的角 （ D） AB 與 SC 所成的角等于 DC 與 SA 所成的角 解法： 選 D. 選項(xiàng) A 正確 因?yàn)?SD? 平面 ABCD ，而 AC? 平面 ABCD ，所以 AC SD? ；再由四邊形 ABCD 為正方形，所以 AC BD? ；而 BD SD D? ，所以 AC? 平面 SBD ，又SB? 平面 SBD ， 故 AC SB? ； 選項(xiàng) B 正確 因?yàn)?//AB CD ， 而 CD? 平面 SCD ， AB? 平面 SCD ，所以 //AB 平面 SCD . 選項(xiàng) C 正確 設(shè) AC BD O? ， 因?yàn)?AC? 平面 SBD ， SA 與平面 SBD 所成的角就是 ASO? ， SC 與平面 SBD 所成的角就是 CSO? ，容易證明 ( )AS O C SO SS S? ， 所以SAC SCA? ?? . 選項(xiàng) D 錯(cuò)誤 AB 與 SC 所成的角等于 SCD? ，容易知道這個(gè)角是一個(gè)銳角； 而 DC 與 SA所成的角等于 SAB? ，這個(gè)角是一個(gè)直角。 點(diǎn)評(píng)： 本小題考察了空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，借助的是一個(gè)四棱錐，主要考察了直線與平面垂直，直線與直線垂直，直線與平面平行，直線與直線所成角，直線與平面所成角等相關(guān)知識(shí)。 如果學(xué)生能將這個(gè)四棱錐進(jìn)行還原，還原到底面為正方形的長(zhǎng)方體，那么本題的思維量能降低。 本小題的解法很多，不同檔次的學(xué)生會(huì)有不同的解法，能有效區(qū)分學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容是否靈活掌握。 c a b O P B C D ab? a b c?? 本小題中構(gòu)造函數(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大。 本題中空間想象能力對(duì)學(xué)生要求較高。 （ 13） 【解讀與點(diǎn)評(píng)】 已知點(diǎn) (2,3) 在雙曲線 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?上， C 的焦距為 4 ，則它的離心率為 ． 答案： 2 解法： 根據(jù)點(diǎn) (2,3) 在雙曲線 221xyab??上，可知22491ab??,又 24c? ， 2 2 2a b c??，聯(lián)立方程，可以解出 1a? ， 3b? ， 2c? ，所以， 2e? . 點(diǎn)評(píng)： 本小題考察了圓錐曲線與方程的相關(guān)內(nèi)容，其中包括雙曲線的定義，雙曲線的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)等內(nèi)容；主要考察的是雙曲線的幾何性質(zhì)；體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 （ 14） 【解讀與點(diǎn)評(píng)】 調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入 x （單位：萬(wàn)元）和年飲食支出 y （單位：萬(wàn)元），調(diào)查顯示年收入 x 與年飲食支出 y 具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到 y 對(duì) x 的回歸直線方程：? ??．由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加 1 萬(wàn)元，年飲食支出平均增加____________萬(wàn)元． S B A C 4 P 答案： 解法： 以 1x? 代 x ，得 ? 0. 25 4( 1) 0. 32 1yx? ? ?與 ? ??相減可得， 年飲食支出平均增加 萬(wàn)元 . 點(diǎn) 評(píng)： 本小題考察了統(tǒng)計(jì)中變量的相關(guān)性等內(nèi)容，其中包括線性回歸方程等內(nèi)容；主要考察了線性回歸方程；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 （ 16） 【解讀與點(diǎn)評(píng)】 已知函數(shù) ( ) tan( )f x A x????（ 0?? ， ||2???）， ()y f x? 的部分圖像如下圖， 則 ()24f ? ? ． 答案： 3 解法： 由圖像可知， 32 8 8 4T ? ? ?? ? ? ， 所以 12T ?? ，即 2?? .又 3( ) 08f ? ? ，即 30 ta n ( 2 )8A ? ?? ? ?， 故 4??? . 又(0) 1f ? ，故 1A? . 綜上可知， ( ) ta n(2 )4f x x ???. 所以 ( ) 324f ? ? . 點(diǎn)評(píng)： 本小題考察了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及三角變換等內(nèi)容；主要考察的是正切函數(shù) 的性質(zhì)；體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力。 （ 17） 【解讀與點(diǎn)評(píng)