【正文】 上 ,其撓度與法向斜率均為給定的 ,即有 nn ????? , (在 1C 上 ) (622) 第二種邊界為簡(jiǎn)支邊界 2C ,在這種邊界上 ,其撓度與法向彎矩為給定的 ,即有 nn MMww ?? , (在 2C 上 ) (623) 第三種邊界為自由邊界 3C ,在自由邊界上 ,作用在邊界上的力為給定的 ?從內(nèi)力和力矩看 ,在邊界上共有三個(gè) ,即 nnsn QMM , ,但其中并不完全獨(dú)立 ,因?yàn)閺淖鞴嵌葋砜?, nsM 和 nQ 并不 完全獨(dú)立 ?事實(shí)上 ,若邊界上的撓度有一變分 wδ ,則 nnsQM, 在 wδ 上所作之功 wδ 是 swQswMw C nns d]δδ[δ 3? ????? (624) 利用分部積分 ,上式又可以寫成 33 |δdδ)(δ CnsC nns wMswQsMw ????? ? (625) 由 (625)式可見 ,切向扭矩 nsM 可以分解為沿著周邊邊界 3C 的分布載荷 sMns?? 及作用于 3C 兩端的集中力 || nsM ,而 3C 兩端是支座 (不是固支邊便是簡(jiǎn)支邊 )?從實(shí)際板的受力來分析 ,可以看到集中力 || nsM 為作用在角點(diǎn)上 ,一般是影響到支座上的力 ,而對(duì)板的變形無影響 ? 圖 63 板的邊界 86 因此 ,分布載荷 sMns?? 與剪力 nQ 構(gòu)成沿自由邊界 3C 上的分布力 ,這部分邊界力的虛功為 swQsMC nns dδ)(3? ??? 與 wδ 相對(duì)應(yīng)的廣義力為nns QsM ???,自由邊的邊界條件應(yīng)取為 )(, sqQsMMM nnsnn ????? (在 3C 上 ) (626) )(sq 為已知的作用在 3C 上的線分布載荷 ? 167。第二 ,與中面平行的各面上的正應(yīng)力 z? 與應(yīng)力x? , y? 和 xy? 相比 屬于小量 。 82 第 6章 彈性薄板小撓度彎曲問題的基礎(chǔ)變分原理 平分板厚度的平面稱為板的中面 ,一般地 ,當(dāng)板的厚度 t 不大于板中面最小尺寸的 5/1 時(shí)的板稱為薄板 ,薄板的中面是一個(gè)平面 ?薄板在垂直于中面的載荷作用下發(fā)生彎曲時(shí) ,中面變形所形成的曲面稱為彈性曲面或撓度面 ,中面內(nèi)各點(diǎn)在未變形中面垂直方向的位移稱為板的撓度 ?薄板彎曲的精確理論應(yīng)是滿足彈性力學(xué)的全部基本方程 ,但這在數(shù)學(xué)上將會(huì)遇到很大的困難 ?1850 年 , (Kirchhoff Gustav Robert,基爾霍夫 古斯塔夫羅伯特 ,德國(guó)物理學(xué)家 ,18241887 年 )除采用彈性力學(xué)的基本假設(shè)外 ,還提出了一些補(bǔ)充的假設(shè) ,從而建立起了薄板小撓度彎曲的近似理論 ?這些假設(shè)是 :第一 ,變形前垂直于板中面的直線 ,在板變形后仍為直線 ,并垂直于變形后的中面 ,而且不經(jīng)受伸縮 。第三 ,在橫向載荷作用下板發(fā)生彎曲時(shí) ,板的中面并不伸長(zhǎng) ,這也就是說 ,薄板中面內(nèi)各點(diǎn)都沒有平行于中面的位移分量 ? 用變分法可以導(dǎo)出薄板彎曲問題的平衡微分方程和邊界條件 ?當(dāng)板的形狀和邊界條件較復(fù)雜時(shí) ,直接求解偏微分方程時(shí)比較困難的 ,以變分法為基礎(chǔ)的各種近似解是求解這類問題的一個(gè)重要途徑 ? 本章討論了用于薄板小撓度彎曲問題的一些基礎(chǔ)變分原理 ,這包括虛功原理 ?最小位能原理 ?最小余能原理 ?兩類自變量廣義變分原理并推廣到三類自變量廣義變分原理 ? 167。 虛功原理和功的互等定理 力學(xué)上 ,可能位移是指滿足位移連續(xù)條件的位移 ?在薄板彎曲問題中只有一個(gè)廣義位移),( yxw ,因此 , ),( yxw 可能作為可能位移的條件是 : ywxww ???? , 是 x ,y 的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) , 并且在 邊界上滿足連續(xù)條件 : ???????????上）（在上）（在21,CwwCn n (627) 同樣 ,由可能位移 w 按式 (610)也可得到相應(yīng)的可能曲率 ? 可能內(nèi)力是指與某種外力保持平衡關(guān)系的內(nèi)力 ?在薄板彎曲問題中 ,內(nèi)力有 xM , yM , xyM ,這三個(gè)內(nèi)力組成一組可能內(nèi)力的條件是 :在板的內(nèi)部滿足平衡方程 (65)式 ,在板的邊 界上滿足條件 ???????????上）（在上）（在32)(, CsqQsMMMCMMnnsnnnn (628) 根據(jù)能量守恒定理 ,外力在可能位移上所作的功等于可能內(nèi)力在可能應(yīng)變上所作的功 ,通常把這一關(guān)系叫做虛功原理 ?在薄板彎曲問題中 ,若把支座反力也看作外力 ,則虛功原理的數(shù)學(xué)形式是 ??????????? ?? ? yxy wMyx wMx wM yxyx dd)2( 22222 ???? ???????? C nC nns snwMswQsMyxqw dd)(dd (629) 上式中 ,w 為可能撓 度 , xyyx MMM , 是可能內(nèi)力 ,它們之間可以完全獨(dú)立而彼此無任何聯(lián)系 ? 下面給出 (629)式的數(shù)學(xué)證明 ?為了書寫簡(jiǎn)單 ,引入下面符號(hào) : ),c o s (),c o s ( ynmxnl ?? 現(xiàn)在將 ? 取為 n 的方向 , ? 取為 s 的方向 , 則可以利用 (618) ? (620) ? (621) 式等將swnwQMM nnsn ???? , 等用 ywxwMMM yxxyyx ???? , 等表示出來 ,下面證明中將用到這些公式 ? 87 從 (629)式中 ,等號(hào)右邊兩個(gè)線積分可作如下化簡(jiǎn) (并引用 (622)?(623)式的邊界條件 ),并得到 ???????? ?C C nnns snwMswQsM dd)( ???????? ?C C nsnn sswMnwMswQ d)(d ???????????????????? ??sywlxwmMmlMMlmywmxwlMml mMMlswmQlQxyxyC yxyxC yxd)}]()()([)()2{(d)(2222 sywmMywlxwmMxwlMswmQlQ yC xyxC yx d})({d)( ????????????? ?? (630) 再將 (64)式的關(guān)系代入 (629)式右邊第一個(gè)積分項(xiàng)里的 q 中 ,展開后為 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????yxywMyxwMxwMsywmMywlxwmMxwlMswmQlQyxywyMxMxwyMxMswmQlQyxywQxwQswmQlQyxwyQxQyxqwyxxyxyCxCyxyxyxyxCyxyxCyxyxdd)2(d])([d)(d]d)()[(d)(dd)(d)(dd)(dd22222 (631) 將 (630)式和 (631)式代入 (629)式的右端 ,可以證明其左端等于右端 ? 對(duì)于虛功原理方程 (629)式 ,還可以表示為以下恒等式 ?? ? ??????????????? yxy wMyx wMx wMwyQxQ yxyxyx dd}2){( 22222 ? ??????? C nnns snwMwQsM d}){( (632) 式中的 yx, 代表 (64)式前兩個(gè)方程的縮寫 ?這里所謂恒等式 ,是指公式 (632)中的wMMM xyyx , 是四個(gè)可以任意選取的函數(shù) ?該式要求 wMMM xyyx , 具有一定連續(xù)可導(dǎo)性質(zhì) ,例如要求 w 的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是連續(xù)而且是可導(dǎo)的 ? 利用上面說明的虛功方程 (629)式 ,我們很容易導(dǎo)出功的互等定理 ?在 (629)式中 ,應(yīng)再次指明內(nèi)力 xyyx MMM , 與撓度 w 是彼此獨(dú)立的 ,它們之間是無任何聯(lián)系的 ?現(xiàn)在有兩組載荷對(duì)同一塊板作用 ,形 成兩組解 ,分別為 第一組載荷 1q 作用下 ,產(chǎn)生的內(nèi)力與撓度為 1,111 wMMM xyyx 88 第二組載荷 2q 作用下 ,產(chǎn)生的內(nèi)力與撓度為 2,222 wMMM xyyx 分別形成的虛功方程為 第一組外載及內(nèi)力取第二組的位移 (yxwywxww ??????? 222 222 222 ,)為虛位移 ,有 ???????? ???? ? C nC nns snwMswQsMyxwq dd)(dd 2221 111 ?? ? ?????????? yxywMyx wMxwM yxyx dd)2( 2 22222 22 111 (633) 第二組外載及內(nèi)力取第一組的位移 (yxwywxww ??????? 122 122 121 ,)為虛位移 ,有 ???????? ???? ? C nC nns snwMswQsMyxwq dd)(dd 1112 222 ?? ? ?????????? yxywMyx wMxwM yxyx dd)2( 2 12122 12 222 (634) (633)式等號(hào)右邊可以引用 (611)式 ,得到下式 ??????????? ?? ? yxywMyx wMxwM yxyx dd)2( 2 22222 22 111 ??? ? yxMT dd}{}{ 12 (635) 考慮到 }]{[}{ 11 ?? DM , }]{[}{ 22 ?? DM ,則 (635)式 可寫成 ?????? ??? ??????? yxDyxDyxM TTT dd}]{[}{dd}]{[}{dd}{}{ 211212 ??? ?? yxMT dd}{}{ 21 (636) (636)式即是薄板的功的互等定理 ,還可以寫成 ???????? ???? ? C nC nns snwMswQsMyxwq dd)(dd 2221 111 ???? ???????? C nC nns snwMswQsMyxwq dd)(dd 1112 222 (637) 由于采用了線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 ,所以無論是外力功的互等定理 (637)式 ,還是內(nèi)力功的互等定理 (636)式 ,都是能量守恒原理和線性 性質(zhì)的后果 ? 167。 最小余能原理 考慮與上節(jié)相同的薄板彎曲問題 ?令 yxyxyx MMMw ， 為精確解 ?再命sysxsysxysx MMM ， 為一組可能內(nèi)力 ,它們滿足下列方程 ??????????????????????????????