遼寧省大連市屆高考第一次模擬考試數(shù)學文科試題含答案-在線瀏覽
2025-02-24 23:23本頁面
【正文】 曲線 2C 上的動點，求 PQ 的中點 M 到直線 l 距離的最大值 . 45：不等式選講 已知 0, 0ab??，函數(shù) ( ) | | | 2 |f x x a x b? ? ? ?的最小值為 1. （ 1）求證： 22ab?? ； （ 2）若 2a b tab?? 恒成立，求實數(shù) t 的最大值 . 2022年大連市高三一模測試 數(shù)學（文科）參考答案與評分標準 一．選擇題 （ 1） A；（ 2） D；（ 3） C； （ 4） A；（ 5） C；（ 6） B；（ 7） A；（ 8） B；（ 9） D；（ 10) B； （ 11）C； （ 12） D． 二 .填空題 （ 13） 95； （ 14） 1； (15) 2 ； 16． 128. 三 .解答題 （ 17） 解：（ I） ∵ ( 3 , 1 ) , ( 3 c os , 1 sin )O P Q P x x? ? ? ?， ∴ ( ) 3 3 c o s 1 s in 4 2 s in ( )3f x x x x ?? ? ? ? ? ? ?， ∴ 當 2 ( )6x k k Z? ?? ? ?時， ()fx取得最小值 2． (2) ∵ ( )=4fA ， ∴ 23A? ? ， 又 ∵ 3BC? ， ∴ 2 2 2 22 c o s 3a b c bc? ? ? ?， ∴ 29 ( )b c bc? ? ? ． 1 3 3s in24ABCS bc A? ??， ∴ 3bc? ． ∴ 23bc?? ， ∴ 三角形周長為 3 2 3? . (18) 解： （Ⅰ）女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如下左、右圖： 由圖可得女性用戶的波動小，男性用戶的波動大 . （Ⅱ）運用分層抽樣從男性用戶中抽取 20 名用戶，評分不低于 80 分有 6 人，其中評分小于90 分的人數(shù)為 4 ，記為 , , ,ABCD ，評分不小于 90 分的人數(shù)為 2 ，記為 ,ab，從 6 人人任取 2 人，基本事件空間為{( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb C D??( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) }C a C b Da Db ab，共有 15 個元素 . 其中把“兩名用戶評分都小于 90 分”記作 M ， 則 M? { ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) }AB AC AD BC BD C D，共有 6 個元素 . 所 以兩名用戶評分都小于 90 分的概率為 6215 5? . (19) 解： (I)證明： ∵ PA? 底 面 ABCD ， AB? 底 面 ABCD ， ∴ PA AB? ，又 ∵ 底面 ABCD 為矩形， ∴ AB AD? ， PA AD A? ， PA? 平面 PAD ，AD? 平面 PAD ， ∴ AB? 平面 PAD ，又 PD? 平面 PAD ， ∴ AB PD? ， AD AP? ， E 為 PD 中點 ，∴ AE PD? ， AE AB A? ， AE? 平面 ABE ， AB? 平面 ABE ， ∴ PD? 平面 ABE . (II)法一 ：四 棱錐 P ABCD? 外接球 球心 在線段 BD 和 線段 PA 的垂直平分線交點 O ， 由已知 2 2 2 22 ( 2 7 ) 4 2B D A B A D? ? ? ? ?， 設 C 為 BD 中點， ∴ 12 2 12A M O M A P? ? ?，∴ 2 2 2 21 ( 2 2 ) 3O A A M O M? ? ? ? ?， ∴ 四 棱錐 P ABCD? 外接球是 34 363 AM ???． 法二： 四 棱錐 P ABCD? 外接球和過 , , , ,P A B C D 的長方體外 接球相同， 球心在對角線的中點 由已知 對角線 2 2 2 2 2 22 ( 2 7 ) 2 6A B A D A P? ? ? ? ? ?， ∴ 球的半徑為 3， ∴ 四 棱錐 P ABCD? 外接球是 34 363 AM ???． (20) 解： （ Ⅰ ）設切點為 0xM（ ， ))( 0xf ， 直線的切線方程為 )()( 00 xxkxfy ??? ， xaxf 1)( ???? ， 00 1)( xaxfk ????? ， 即直線的切線方程為 ))(1(ln0000 xxxaxaxy ?????， 又切線過原點 O ,所以 1ln 000 ????? axxax ， 由 1ln 0?x ，解得 ex?0 ， 所以切點的橫坐標為 e . （Ⅱ）方法一： ∵ 不等式 )2(ln 2xxaxax ??? 對 1[??x ， )?? 恒成立 , ∴ 2 ln 0ax ax x? ? ?對 1[??x ， )?? 恒成立 . 設 xaxaxxg ln)( 2 ??? ， 1[?x ， )?? ， xaaxxg 12)( ???? . ① 當 0?a 時， 01)12()( ????? xxaxg? ， )(xg? 在 1[ ， )?? 上單調(diào)遞減， 即 0)1()( ?? gxg ， 0??a 不符合題意 . ② 當 0?a 時， xaxaxxg 12)( 2 ???? .設 18)41(212)( 22 ??????? axaaxaxxh， 在 1[ ， )?? 上單調(diào)遞增，即 ( ) (1) 1h x h a? ? ?. （ⅰ）當 1?a 時，由 0)( ?xh ，得 0)( ??xg ， )(xg? 在 1[ ， )?? 上單調(diào)遞增，即0)1()( ?? gxg ， 1??a 符合題意； （ ii）當 10 ??a 時， 01??a? ， 1[0???x ， )?? 使得 0)( 0 ?xh ， 則 )(xg 在 1[ ， )0x 上單調(diào)遞減，在 0(x ， )?? 上單調(diào)遞增， 0)1()( 0 ??? gxg ，則 10 ??a 不合題意 . 綜上所述， 1a? . （Ⅱ）方法二： ∵ 不等式 2ln 2ax x a x x? ? ?（ ）對 1[??x ， )?? 恒成立 , ∴ 2 ln 0ax ax x? ? ?對 1[??x ， )?? 恒成立 . 當 0a? 時 ， 2 ln 0ax ax x? ? ?；當 01a??時 ， 2 lng x ax ax x??（ ） = ， 3 ln 3 0ga??（ ） =6 不 恒成立；同理 x 取其他值不 恒成立 . 當 =1x 時 ， 2 ln 0ax ax x? ? ?恒成立 ； 當 1x? 時 ，2lnx xa x? ?，證明 2ln 1xx x x? ? ?（ ）恒成立 . 設 2lng x x x x? ? ?（ ） ， 1[?x ， )?? ， 21 2
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