【正文】 phi), r*cos(theta)*cos(phi), r*sin(theta)*sin(phi)] [ sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)*cos(phi)] [ cos(theta), r*sin(theta), 0 ] ? 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： – 格式： F=diff(f,xj)/diff(f,xi) ? 例： syms x y。 pretty(simple(diff(f,x)/diff(f,y))) 3 2 2 2 x + 2 + 2 x + x y 4 x 2 x y x (x 2) (2 y + x) 積分問題的解析解 ? 不定積分的推導(dǎo)： – 格式： F=int(fun,x) ? 例： 用 diff() 函數(shù)求其一階導(dǎo)數(shù)，再積分， 檢驗(yàn)是否可以得出一致的結(jié)果。 y=sin(x)/(x^2+4*x+3)。 y0=int(y1)。 y0=int(int(int(int(y4))))。 f=simple(int(x^3*cos(a*x)^2,x)) f = 1/16*(4*a^3*x^3*sin(2*a*x)+2*a^4 *x^4+6*a^2*x^2*cos(2*a*x)6*a*x*sin(2*a*x)3*cos(2*a*x)3)/a^4 f1=x^4/8+(x^3/(4*a)3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+... (3*x^2/(8*a^2)3/(16*a^4))*cos(2*a*x)。 I1=int(exp(x^2/2),x,0,) ％無解 I1 = 1/2*erf(3/4*2^(1/2))*2^(1/2)*pi^(1/2) vpa(I1,70) ans = 532156326729917229308528 I2=int(exp(x^2/2),x,0,inf) I2 = 1/2*2^(1/2)*pi^(1/2) 2 /2() xf x e ??202() x te r f x e d t??? ?? 多重積分問題的 MATLAB求解 ? 例： syms x y z。 f1=int(f0,z)。f1=int(f1,x)。 f2=int(f2,x)。 f2=simple(int(f2,y)) f2 = 2*exp(x^2*yz^2)*tan(1/2*x^2*y)/(1+tan(1/2*x^2*y)^2) simple(f1f2) ans = 0 順序的改變使化簡結(jié)果不同于原函數(shù)，但其誤差為 0，表明二者實(shí)際完全一致。 ? 例： syms x y z int(int(int(4*x*z*exp(x^2*yz^2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi) ans = (Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2))*pi^2*hypergeom([1],[2],pi^2) Ei(n,z)為指數(shù)積分，無解析解，但可求其數(shù)值解： vpa(ans,60) ans = 021863483588 函數(shù)的級數(shù)展開與 級數(shù)求和問題求解 ? Taylor 冪級數(shù)展開 ? Fourier 級數(shù)展開 ? 級數(shù)求和的計(jì)算 Taylor 冪級數(shù)展開 單變量函數(shù)的 Taylor 冪級數(shù)展開 例 : syms x。 y1=taylor(f,x,9)。 taylor(f,x,5,a) % 結(jié)果較冗長，顯示從略 ans = sin(a)/(a^2+3+4*a) +(cos(a)sin(a)/(a^2+3+4*a)*(4+2*a))/(a^2+3+4*a)*(xa) +(sin(a)/(a^2+3+4*a)1/2*sin(a)(cos(a)*a^2+3*cos(a)+4*cos(a)*a4*sin(a)2*sin(a)*a)/(a^2+3+4*a)^2*(4+2*a))/(a^2+3+4*a)*(xa)^2+… 例 :對 y=sinx進(jìn)行 Taylor冪級數(shù)展開 ,并觀察不同階次的近似效果。 y0=sin(x0)。 y=sin(x)。r.39。 hold on for n=[8:2:16] p=taylor(y,x,n), y1=subs(p,x,x0)。 f=(x^22*x)*exp(x^2y^2x*y)。mtaylor39。[x,y]39。％讀庫，把函數(shù)調(diào)入內(nèi)存 F=maple(39。,f,39。,8) F = 2*x+x^2+2*x^3x^4x^5+1/2*x^6+1/3*x^7+2*y*x^2+2*y^2*xy*x^3y^2*x^22*y*x^43*y^2*x^32*y^3*x^2y^4*x+y*x^5+3/2*y^2*x^4+y^3*x^3+1/2*y^4*x^2+y*x^6+2*y^2*x^5+7/3*y^3*x^4+2*y^4*x^3+y^5*x^2+1/3*y^6*x syms a。mtaylor39。[x=1,y=a]39。 F=maple(39。,f,39。,3) F = (a^22*a)*exp(a^2y^2a*y)+((a^22*a)*exp(a^2y^2a*y)*(2*ay)+(2*a2)*exp(a^2y^2a*y))*(xa)+((a^22*a)*exp(a^2y^2a*y)*(1+2*a^2+2*a*y+1/2*y^2)+exp(a^2y^2a*y)+(2*a2)*exp(a^2y^2a*y)*(2*ay))*(xa)^2 Fourier 級數(shù)展開 function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b) if nargin==3, a=pi。 end L=(ba)/2。 end％變量區(qū)域互換 A=int(f,x,L,L)/L。 F=A/2。 bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,L,L)/L。 B=[B,bn]。 end if a+b, F=subs(F,x,xLa)。 f=x*(xpi)*(x2*pi)。 f=abs(x)/x。 xx=xx(xx~=0)。 % 剔除零點(diǎn) yy=subs(f,x,xx)。r.39。 plot(xx,y1) end a = [ 0, 0, 0] b = [ 4/pi, 0] f1 = 4/pi*sin(x) a = [ 0, 0, 0, 0] b = [ 4/pi, 0, 4/3/pi] f1 = 4/pi*sin(x)+4/3/pi*sin(3*x) …… 級數(shù)求和的計(jì)算 ? 是在符號工具箱中提供的 例 :計(jì)算 format long。 symsum(2^k,0,200) ％把 2定義為符號量可使計(jì)算更精確 ans = 3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602751 syms k。 s=symsum(1/((3*n2)*(3*n+1)),n,1,inf) %采用符號運(yùn)算工具箱 s = 1/3 m=1:10000000。%數(shù)值計(jì)算方法 ,雙精度有效位 16,“大數(shù)吃小數(shù)” ,無法精確 format long。 simple(s1) % 對結(jié)果進(jìn)行化簡， MATLAB 及以前版本因本身 bug 化簡很麻煩 ans = log((((2*x+1)^2)^(1/2)+1)/(((2*x+1)^2)^(1/2)1)) %實(shí)際應(yīng)為 log((x+1)/x) 例 :求 syms m n。0( ) ( ) ( ) l imhf x h f xfxh????差商型求導(dǎo)公式 由導(dǎo)數(shù)定義39。39。 2 39。 3 39。39。 2 39。 3 39。39。 39。39。 yx2=[0 y 0 0 0 0]。 yx4=[0 0 0 y 0 0]。 yx6=[0 0 0 0 0 y]。 L0=3。L0=3。 L0=5。 L0=5。 dx=([1:length(dy)]+L02(n2))*Dt。 [ , ] _ ( , , )yxd d d iff c tr y t n??? 例： 求導(dǎo)數(shù)的解析解 ,再 用數(shù)值微分求取原函數(shù)的 1～4 階導(dǎo)數(shù)，并和解析解比較精度。 x=0:h:pi。 y=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3)。 f1=subs(yy1,x1,x)。 f2=subs(yy2,x1,x)。 f3=subs(yy3,x1,x)。 f4=subs(yy4,x1,x)。 % 生成已知數(shù)據(jù)點(diǎn) [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1)。:39。 [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2)。:39。 subplot(223),plot(x,f3,dx3,y3,39。)。 subplot(224),plot(x,f4,dx4,y4,39。) 求最大相對誤差： norm((y4… f4(4:60))./f4(4:60)) ans = 用插值、擬合多項(xiàng)式的求導(dǎo)數(shù) ? 基本思想：當(dāng)已知函數(shù)在一些離散點(diǎn)上的函數(shù)值時，該函數(shù)可用插值或擬合多項(xiàng)式來近似，然后對多項(xiàng)式進(jìn)行微分求得導(dǎo)數(shù)。 xd=[ 0 ]。 a=。 d=polyfit(xda,yd,L1)。 for k=1:L1。end deriv=d.*fact deriv = ? 建立用擬合（插值）多項(xiàng)式計(jì)算各階導(dǎo)數(shù)的 function der