【正文】 是不是橢圓 ? 電影放映機上的聚光燈泡的反射鏡、運用高能沖擊波擊碎腎結石的碎石機等儀器設備都是運用橢圓的性質制造的．怎樣設計才能精確地制造它們 ? 借助于橢圓的方程，我們可以回答上述問題．那么 ●怎樣建立橢圓的方程？ ● 如何根據方程研究橢圓的性質 ？ ?重視節(jié)首語的教學 ?建 系 ——設 點 ——列等式（ 限 制條件） ——代 入坐標（得到方程） ——化 簡方程 ?教科書 p27“由上述過程可知 ， 橢圓上的點的坐標 (x、 y)都滿足上面這個方程 ， 并且滿足上面這個方程的點都在已知的橢圓上 ． ? 只要讓學生從方程同解的角度認同即可 ， 不要提純粹性和完備性的概念 ． ?突出建立 橢圓標準方程的全過程 ?參數 b 的引入在這里只需說明是為了簡化方程形式，在后面再說明其幾何意義 ?焦點在 y軸的橢圓標準方程可由學生獨立研究自行推出．（不妨先作猜想，或變量代換．） ?例 2給出了確定曲線類型的新方法 (原來的方法是運用概念 ， 這里是由方程來判斷 )： ?感受曲線方程的概念 ?通過求橢圓的標準方程，進一步感受曲線方程的概念，了解求曲線方程的基本方法．（在必修部分雖有體現，未充分說明但） 例 2 將圓 x2 + y2 = 4上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線？ ?要突出 ? 用代數方法 (方程 )研究幾何問題 ? 的解析幾何的基本思想 ． 如：范圍 、對稱性等 ． ?“頂點是橢圓與對稱軸的交點 ? ， 不能認為最高 (低 )點 、 最左 (右 )點就是頂點 ． ?對離心率要突出其幾何意義 ， 并在實驗的過程中感受和理解其意義 ?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具． 向量是一個重要的代數研究對象 。 向量又是一個幾何的對象 ， 向量本身有方向 ， 有方向就有角度與長度 ，能刻畫直線 、 平面 、 切線 。 向量是建立代數與幾何的一個橋梁 ——坐標法與向量法 ， 用向量來解決問題可以看到代數問題的幾何背景 ． 向量是一個重要的數學與物理模型。在數學上，它本身也是一個重要的研究對象，比如：向量與向量的加法構成了一個群（ V，＋），向量、實數與向量的加法構成一個線性空間（ V， R，＋），向量、范數、實數與向量的加法、數乘構成線性賦范空間（ V， R，＋， ? ）；在分析數學方面，還有場論的研究等。 在本模塊中 ， 學生將在學習平面向量的基礎上 ， 把平面向量及其運算推廣到空間 ， 運用空間向量解決有關直線 、 平面位置關系的問題 ， 體會向量方法在研究幾何圖形中的作用 ， 進一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力 。 ?內容 (1) 空間向量及其運算； (2) 空間向量的應用． 一、本章主要內容和結構 向量的線性運算 向量的數量積 空間向量的應用 平面向量及其運算 空間線、面的位置關系 空間角和距離的度量 空間向量及其運算 ?結構 二、本章的展開方式與特點 必修 2：立體幾何初步 、 解析幾何初步 必修 4：平面向量 選修 1：圓錐曲線與方程 選修 2：圓錐曲線與方程 、 空間向量與立體幾何 選修 3：球面上的幾何 、 對稱與群 、 歐拉公式與 閉曲面分類 、 三等分角與數域擴充 選修 4：幾何證明選講 、 矩陣與變換 、 極坐標與 參數方程 新教材幾何內容知識鏈 把握圖形的能力 空間想象能力 推理能力 幾何直覺能力 培養(yǎng)和發(fā)展學生 提升幾何直觀的思想方法 ， 突出用代數方法解決幾何問題的過程 ， 強調代數關系的幾何意義 。 《 普通高中數學課程標準 》 對立體幾何的定位主要作了三個方面的調整： 強調把握圖形能力的培養(yǎng) ， 強調空間想象與幾何直觀能力的培養(yǎng) ， 強調邏輯思維能力的培養(yǎng) ． 英國著名數學家 ： ? 幾何是數學中這樣的一個部分 ， 其中視覺思維占主導地位 ， 而代數則是數學中有序思維占主導地位的部分 ， 這種區(qū)分也許用另外一對詞更好 ， 即 ‘ 洞察 ’ 與 ‘ 嚴格 ’ ， 兩者在真正的數學研究中起著本質的作用 ． ? 新課程對立體幾何定位的調整 內容展開方式 《 立體幾何初步 》 的安排是 橫向 的：空間線線關系，空間線面關系，空間面面關系； 《 空間向量與立體幾何 》 的安排是 縱向 的：直線的方向向量與平面的法向量，線面關系的判定，空間角的計算． 本章先講清直線的方向向量與平面的法向量兩個基本概念 ， 然后從線面關系 （ 包括直線與直線 、 直線與平面 、 平面與平面 ） 的判定 ， 空間角 （ 包括異面直線所成的角 ， 直線與平面所成的角 、 平面與平面所成的角 ） 的計算兩個方面研究空間向量在立體幾何中的應用 ， 側重于應用向量解決立體幾何問題的思想方法 ，而不在于簡單地用空間向量把立體幾何的有關概念 、判定和性質復述一遍 ． 本章的基本思想 本章突出了用空間向量解決立體幾何問題的基本思想 ． 根據問題的特點 ， 以適當的方式 （ 例如構建向量 、 建立空間直角坐標系 ） 用空間向量表示空間圖形中的點 、 線 、 面等元素 ， 建立起空間圖形與空間向量的聯系；然后通過空間向量的運算 ， 研究相應元素之間的關系 （ 平行 、 垂直 、 角和距離等 ） ；最后對運算結果的幾何意義作出解釋 ， 從而解決立體幾何的問題 ． 教科書還通過例題 ， 引導學生對解決立體幾何問題的三種方法 （ 向量方法 、 坐標法 、 綜合法 ） 進行比較 ， 分析各自的優(yōu)勢 ， 因題而宜作出適當的選擇 ， 從而提高綜合運用數學知識解決問題的能力 ． 形 數 形 ? ? 三、內容解析與教學建議 空間向量及其運算 ， 要求讓學生經歷由平面向空間推廣的過程 ， 目的是讓學生體會數學的思想方法 ， 體驗數學在結構上的和諧性與在推廣過程中的問題 ， 并嘗試如何解決這些問題 ． 同時 ， 在這個過程中 ， 也讓學生享受一個數學概念的推廣可能帶來很多更好的性質 ， 同時注意空間向量與平面向量的區(qū)別和聯系 ． 教學中 ， 要引導學生主動學習類比 、 歸納 、 推廣 、化歸等思想方法 ， 提高數學素養(yǎng) ． ?注重向量由平面向空間推廣過程的教學 向量運算的引入 ， 使數學運算對象發(fā)生了重大變化：從數 、 字母與代數式到向量 ，這為進一步理解其它的數學運算 （ 如函數的運算 、 映射 、 變換 、 矩陣的運算等等 ） 創(chuàng)造了條件 ． 特別是當學生利用向量運算解決了數學中的問題時 （ 如證明直線與平面垂直的判定定理 ） ， 就更有助于學生體會數學運算的意義 ， 感悟運算 、 推理在探索和發(fā)現中的作用 ． 體會數學研究方法的模式化特點 ， 感受理性思維的力量 ． ?體會數學運算的意義 任意兩個空間向量都可以?平移?到同一平面內，也就是說，它們可以用同一平面內的兩條有向線段來表示．這樣，凡涉及兩個空間向量的運算和位置關系問題，就可以轉化為平面向量來解決．因此，空間向量的線性運算及其性質、空間向量的數量積、空間向量的共線和垂直的條件等，與平面向量是完全一樣的．在上述相關內容的教學時，應充分讓學生類比猜想、自主探索，得出相應的法則和性質． ?鼓勵類比猜想、自主探索 利用向量來解決立體幾何問題是學習這部分內容的重點 ， 要讓學生體會向量的思想方法 ， 以及如何用向量來表示點 、 線 、 面及其位置關系 ． 在教學中 ， 可以鼓勵學生靈活選擇運用向量方法 、 坐標法與綜合法 ， 從不同角度解決立體幾何問題 ． 在數學 2《 立體幾何初步 》 中 ， 側重于定性地研究線 、 面的位置關系 ， 而本章則借助于空間向量 ， 側重于定量研究 ． ?感悟向量的思想方法 共面向量還可以理解為 ? 平行于同一平面的向量 ? （ 傳統的定義 ） ． 為此 ， 還要先規(guī)定向量與平面平行的含義：若表示向量的有向線段平行于平面或在平面內 ， 則稱向量與平面平行 ． 本書對共面向量的定義更突出? 自由向量 ? 的特征 ， 不出現向量與平面平行的概念 ， 便于學生接受 ． 新教材：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量． ?關于共面向量的定義 ?關于共面向量定理 空間向量中的共面向量定理與平面向量基本定理不僅在形式上是相同的 ， 而且在本質上也是一致的 ． 這是因為任意兩個空間向量 a， b都可以平移到同一個平面 ， 當 a， b不共線時 ， 可以作為基向量 ， 向量 p與它們共面 ，也就是向量 p可以平移到這個平面 ， 所以就能用 a， b線性表示 ． 1． 共線向量定理表明 ， 任意一個向量可以用與它共線的一個非零向量來線性表示 ， 而且這種表示是唯一的 ． 平面向量基本定理表明 ， 任意一個平面向量可以用與它同一平面內的兩個不共線的非零向量來線性表示 ， 而且這種表示是唯一的 ． 平面向量基本定理是向量共線定理的推廣 ， 可以看成 （ 在一定范圍內的 ） 向量分解 ? 唯一性 ? 定理由一維向二維的推廣 ． 由此 ，可以向學生提出： 在空間向量中 ， 我們還可以作怎樣的推廣呢 ？ 引導學生積極主動探索 ． ?關于空間向量基本定理 2． 空間向量基本定理表明 ， 任意一個空間向量可以用不共面的三個已知向量來線性表示 ，而且這種表示是唯一的 ． 因此 ， 空間向量基本定理也稱為空間向量分解定理 ， 它為空間向量的坐標表示奠定基礎 ． 空間向量基本定理與平面向量基本定理類似 ， 區(qū)別僅在于基底中多了一個向量 ， 從而分解結果中也多了一 ? 項 ? ． 定理中 ? 存在性 ?的證明與平面向量基本定理的思路 、 步驟基本相同 ， ? 惟一性 ? 的證明用到反證法 ， 只要求學生了解即可 ． ?關于空間向量的數量積 1． 由于任意兩個空間向量都可以轉化為平面向量 ， 所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍 、 兩個向量垂直的定義和符號 、 兩個空間向量的數量積等等 ， 都與平面向量相同 ． 教學中 ， 應引導學生自己將平面向量中數量積的有關概念 、 運算和方法推廣到空間 ． 2． 要正確使用兩個向量夾角的符號 〈 a， b〉 ． 例如 ，〈 , 〉 ＝ ∠ BAC． 3． 空間向量數量積的幾何意義只要求學生了解 4． 空間向量數量積運算律的證明不作要求 ． AB AC 向量的數量積是實施向量等式向數量等式轉化的重要途徑． 空間線 、 面的位置關系中 ， 角反映了它們在方向上的差異 ． 因此 ， 用向量來刻畫這種差異 ， 就先要規(guī)定直線和平面的 ? 方向 ? ， 從而引入直線的方向向量和平面的法向量 ． ?關于直線的方向向量和平面的法向量 直線的方向向量不止一個 ， 這些方向向量是共線向量；兩條平行直線的方向向量是共線向量 ． 因此 ， 研究空間直線與直線 、直線與平面的平行與垂直關系 ， 即研究它們在 “ 方向 ” 上的差異程度時 ， 就可以用直線的方向向量來刻畫直線的 “ 方向 ” ． 平面的法向量不止一個 ， 這些法向量是共線向量；兩個平行平面的法向量是共線向量 ， 也就是說 ， 兩個平行平面的 “ 方向 ”是相同的 ． 因此 ， 研究空間平面與直線 、 平面與平面的平行與垂直關系 ， 即研究它們在 “ 方向 ” 上的差異程度時 ， 就可以用平面的法向量來刻畫平面的 “ 方向 ” ． 將空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，用直線的方向向量和平面的法向量來表述，是一個?符號化?的過程． ?關于空間線面關系的“符號化” 三垂線定理回答了這樣的問題：平面的斜線與平面內怎樣的直線垂直 (與斜線在平面內的射影垂直的直線垂直 )． 在數學 2立體幾何中 ， 三垂線定理淡出 ， 只是在例題中用綜合法通過直線與平面的垂直證明過這個定理 (但