【正文】 ,39。 數(shù)學(xué)語(yǔ)言已成為人類社會(huì)中交流和貯存信息的重要手段 。 《 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 》 對(duì)立體幾何的定位主要作了三個(gè)方面的調(diào)整： 強(qiáng)調(diào)把握?qǐng)D形能力的培養(yǎng) ， 強(qiáng)調(diào)空間想象與幾何直觀能力的培養(yǎng) ， 強(qiáng)調(diào)邏輯思維能力的培養(yǎng) ． 英國(guó)著名數(shù)學(xué)家 ： ? 幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分 ， 其中視覺(jué)思維占主導(dǎo)地位 ， 而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分 ， 這種區(qū)分也許用另外一對(duì)詞更好 ， 即 ‘ 洞察 ’ 與 ‘ 嚴(yán)格 ’ ， 兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用 ． ? 新課程對(duì)立體幾何定位的調(diào)整 內(nèi)容展開方式 《 立體幾何初步 》 的安排是 橫向 的：空間線線關(guān)系，空間線面關(guān)系，空間面面關(guān)系； 《 空間向量與立體幾何 》 的安排是 縱向 的：直線的方向向量與平面的法向量，線面關(guān)系的判定，空間角的計(jì)算． 本章先講清直線的方向向量與平面的法向量?jī)蓚€(gè)基本概念 ， 然后從線面關(guān)系 （ 包括直線與直線 、 直線與平面 、 平面與平面 ） 的判定 ， 空間角 （ 包括異面直線所成的角 ， 直線與平面所成的角 、 平面與平面所成的角 ） 的計(jì)算兩個(gè)方面研究空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 ， 側(cè)重于應(yīng)用向量解決立體幾何問(wèn)題的思想方法 ，而不在于簡(jiǎn)單地用空間向量把立體幾何的有關(guān)概念 、判定和性質(zhì)復(fù)述一遍 ． 本章的基本思想 本章突出了用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的基本思想 ． 根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn) ， 以適當(dāng)?shù)姆绞?（ 例如構(gòu)建向量 、 建立空間直角坐標(biāo)系 ） 用空間向量表示空間圖形中的點(diǎn) 、 線 、 面等元素 ， 建立起空間圖形與空間向量的聯(lián)系；然后通過(guò)空間向量的運(yùn)算 ， 研究相應(yīng)元素之間的關(guān)系 （ 平行 、 垂直 、 角和距離等 ） ；最后對(duì)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義作出解釋 ， 從而解決立體幾何的問(wèn)題 ． 教科書還通過(guò)例題 ， 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決立體幾何問(wèn)題的三種方法 （ 向量方法 、 坐標(biāo)法 、 綜合法 ） 進(jìn)行比較 ， 分析各自的優(yōu)勢(shì) ， 因題而宜作出適當(dāng)?shù)倪x擇 ， 從而提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力 ． 形 數(shù) 形 ? ? 三、內(nèi)容解析與教學(xué)建議 空間向量及其運(yùn)算 ， 要求讓學(xué)生經(jīng)歷由平面向空間推廣的過(guò)程 ， 目的是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法 ， 體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過(guò)程中的問(wèn)題 ， 并嘗試如何解決這些問(wèn)題 ． 同時(shí) ， 在這個(gè)過(guò)程中 ， 也讓學(xué)生享受一個(gè)數(shù)學(xué)概念的推廣可能帶來(lái)很多更好的性質(zhì) ， 同時(shí)注意空間向量與平面向量的區(qū)別和聯(lián)系 ． 教學(xué)中 ， 要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)類比 、 歸納 、 推廣 、化歸等思想方法 ， 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) ． ?注重向量由平面向空間推廣過(guò)程的教學(xué) 向量運(yùn)算的引入 ， 使數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象發(fā)生了重大變化：從數(shù) 、 字母與代數(shù)式到向量 ，這為進(jìn)一步理解其它的數(shù)學(xué)運(yùn)算 （ 如函數(shù)的運(yùn)算 、 映射 、 變換 、 矩陣的運(yùn)算等等 ） 創(chuàng)造了條件 ． 特別是當(dāng)學(xué)生利用向量運(yùn)算解決了數(shù)學(xué)中的問(wèn)題時(shí) （ 如證明直線與平面垂直的判定定理 ） ， 就更有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義 ， 感悟運(yùn)算 、 推理在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用 ． 體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法的模式化特點(diǎn) ， 感受理性思維的力量 ． ?體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義 任意兩個(gè)空間向量都可以?平移?到同一平面內(nèi)，也就是說(shuō)，它們可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示．這樣，凡涉及兩個(gè)空間向量的運(yùn)算和位置關(guān)系問(wèn)題，就可以轉(zhuǎn)化為平面向量來(lái)解決．因此，空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)、空間向量的數(shù)量積、空間向量的共線和垂直的條件等，與平面向量是完全一樣的．在上述相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分讓學(xué)生類比猜想、自主探索，得出相應(yīng)的法則和性質(zhì)． ?鼓勵(lì)類比猜想、自主探索 利用向量來(lái)解決立體幾何問(wèn)題是學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的重點(diǎn) ， 要讓學(xué)生體會(huì)向量的思想方法 ， 以及如何用向量來(lái)表示點(diǎn) 、 線 、 面及其位置關(guān)系 ． 在教學(xué)中 ， 可以鼓勵(lì)學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量方法 、 坐標(biāo)法與綜合法 ， 從不同角度解決立體幾何問(wèn)題 ． 在數(shù)學(xué) 2《 立體幾何初步 》 中 ， 側(cè)重于定性地研究線 、 面的位置關(guān)系 ， 而本章則借助于空間向量 ， 側(cè)重于定量研究 ． ?感悟向量的思想方法 共面向量還可以理解為 ? 平行于同一平面的向量 ? （ 傳統(tǒng)的定義 ） ． 為此 ， 還要先規(guī)定向量與平面平行的含義：若表示向量的有向線段平行于平面或在平面內(nèi) ， 則稱向量與平面平行 ． 本書對(duì)共面向量的定義更突出? 自由向量 ? 的特征 ， 不出現(xiàn)向量與平面平行的概念 ， 便于學(xué)生接受 ． 新教材：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量． ?關(guān)于共面向量的定義 ?關(guān)于共面向量定理 空間向量中的共面向量定理與平面向量基本定理不僅在形式上是相同的 ， 而且在本質(zhì)上也是一致的 ． 這是因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)空間向量 a， b都可以平移到同一個(gè)平面 ， 當(dāng) a， b不共線時(shí) ， 可以作為基向量 ， 向量 p與它們共面 ，也就是向量 p可以平移到這個(gè)平面 ， 所以就能用 a， b線性表示 ． 1． 共線向量定理表明 ， 任意一個(gè)向量可以用與它共線的一個(gè)非零向量來(lái)線性表示 ， 而且這種表示是唯一的 ． 平面向量基本定理表明 ， 任意一個(gè)平面向量可以用與它同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量來(lái)線性表示 ， 而且這種表示是唯一的 ． 平面向量基本定理是向量共線定理的推廣 ， 可以看成 （ 在一定范圍內(nèi)的 ） 向量分解 ? 唯一性 ? 定理由一維向二維的推廣 ． 由此 ，可以向?qū)W生提出： 在空間向量中 ， 我們還可以作怎樣的推廣呢 ？ 引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)探索 ． ?關(guān)于空間向量基本定理 2． 空間向量基本定理表明 ， 任意一個(gè)空間向量可以用不共面的三個(gè)已知向量來(lái)線性表示 ，而且這種表示是唯一的 ． 因此 ， 空間向量基本定理也稱為空間向量分解定理 ， 它為空間向量的坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ) ． 空間向量基本定理與平面向量基本定理類似 ， 區(qū)別僅在于基底中多了一個(gè)向量 ， 從而分解結(jié)果中也多了一 ? 項(xiàng) ? ． 定理中 ? 存在性 ?的證明與平面向量基本定理的思路 、 步驟基本相同 ， ? 惟一性 ? 的證明用到反證法 ， 只要求學(xué)生了解即可 ． ?關(guān)于空間向量的數(shù)量積 1． 由于任意兩個(gè)空間向量都可以轉(zhuǎn)化為平面向量 ， 所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍 、 兩個(gè)向量垂直的定義和符號(hào) 、 兩個(gè)空間向量的數(shù)量積等等 ， 都與平面向量相同 ． 教學(xué)中 ， 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己將平面向量中數(shù)量積的有關(guān)概念 、 運(yùn)算和方法推廣到空間 ． 2． 要正確使用兩個(gè)向量夾角的符號(hào) 〈 a， b〉 ． 例如 ，〈 , 〉 ＝ ∠ BAC． 3． 空間向量數(shù)量積的幾何意義只要求學(xué)生了解 4． 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律的證明不作要求 ． AB AC 向量的數(shù)量積是實(shí)施向量等式向數(shù)量等式轉(zhuǎn)化的重要途徑． 空間線 、 面的位置關(guān)系中 ， 角反映了它們?cè)诜较蛏系牟町?． 因此 ， 用向量來(lái)刻畫這種差異 ， 就先要規(guī)定直線和平面的 ? 方向 ? ， 從而引入直線的方向向量和平面的法向量 ． ?關(guān)于直線的方向向量和平面的法向量 直線的方向向量不止一個(gè) ， 這些方向向量是共線向量；兩條平行直線的方向向量是共線向量 ． 因此 ， 研究空間直線與直線 、直線與平面的平行與垂直關(guān)系 ， 即研究它們?cè)?“ 方向 ” 上的差異程度時(shí) ， 就可以用直線的方向向量來(lái)刻畫直線的 “ 方向 ” ． 平面的法向量不止一個(gè) ， 這些法向量是共線向量；兩個(gè)平行平面的法向量是共線向量 ， 也就是說(shuō) ， 兩個(gè)平行平面的 “ 方向 ”是相同的 ． 因此 ， 研究空間平面與直線 、 平面與平面的平行與垂直關(guān)系 ， 即研究它們?cè)?“ 方向 ” 上的差異程度時(shí) ， 就可以用平面的法向量來(lái)刻畫平面的 “ 方向 ” ． 將空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)表述，是一個(gè)?符號(hào)化?的過(guò)程． ?關(guān)于空間線面關(guān)系的“符號(hào)化” 三垂線定理回答了這樣的問(wèn)題：平面的斜線與平面內(nèi)怎樣的直線垂直 (與斜線在平面內(nèi)的射影垂直的直線垂直 )． 在數(shù)學(xué) 2立體幾何中 ， 三垂線定理淡出 ， 只是在例題中用綜合法通過(guò)直線與平面的垂直證明過(guò)這個(gè)定理 (但沒(méi)給出 ? 三垂線定理 ? 的名稱 )， 而這里是通過(guò)向量 ? 運(yùn)算 ? 來(lái)實(shí)現(xiàn)證明的 ， 這進(jìn)一步凸現(xiàn)了向量方法在研究幾何圖形中的作用 ． ?關(guān)于三垂線定理的教學(xué) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 選修 2－ 2 第 3章 （選修 1－ 2 第 3 章） 一、本章結(jié)構(gòu) 虛數(shù)的引入 復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)的表示 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 代數(shù)表示 幾何表示 幾何意義 代數(shù)運(yùn)算 虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托，它好像存在與不存在之間的一種兩棲動(dòng)物． ——— 萊布尼茨 《 標(biāo)準(zhǔn) 》 將復(fù)數(shù)作為數(shù)系擴(kuò)充的結(jié)果引入 ，體現(xiàn)了實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用以及數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中數(shù)系結(jié)構(gòu)與運(yùn)算性質(zhì)的變化 ． 這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí) ， 有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程 ， 認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)發(fā)展既有來(lái)自外部的動(dòng)力也有來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部的動(dòng)力 ， 從而形成正確的 數(shù)學(xué)觀 ． 通過(guò)復(fù)數(shù)的引入等內(nèi)容學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生的 數(shù)學(xué)思維能力 ， 形成 理性思維 和 科學(xué)精神 ． 二、內(nèi)容解析與教學(xué)建議 本章內(nèi)容的定位 本章內(nèi)容的展開線索 先將復(fù)數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對(duì) ， 然后學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 ， 再把復(fù)數(shù)看成是直角坐標(biāo)系下平面上的點(diǎn) ， 或把復(fù)數(shù)看成是從直角坐標(biāo)系原點(diǎn)出發(fā)到平面上一點(diǎn)的向量 ， 最后介紹復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加 、 減運(yùn)算的幾何意義 ． 這樣處理可以使學(xué)生充分理解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程 、代數(shù)運(yùn)算的意義 ， 從而進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)體系的建構(gòu)過(guò)程 、 數(shù)形結(jié)合思想以及人類理性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用 ． 16世紀(jì) ， 意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹 （ Cardano） 在討論問(wèn)題? 將 10分成兩部分 ， 使兩者的乘積等于 40”時(shí) ， 認(rèn)為把答案寫成 ? 5＋ 和 5－ ? 就可以滿足要求： (5＋ )＋ (5－ )＝ 5＋ 5＝ 10， (5＋ ) (5－ )＝ 5 5－ =25－ (－ 15) ＝ 40． 我們知道 ， 在實(shí)數(shù)集內(nèi) ， 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根 ， 它們互為相反數(shù) ， 0 的平方根是 0． 那么 ， 表示什么意義呢 ？ 你也許會(huì)覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)可笑 ， 因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù) ， 所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根 ， 因此沒(méi)有意義 ． 盡管在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi) ， 數(shù)學(xué)家都認(rèn)為 5＋ 和 5－ 這兩個(gè)式子沒(méi)有意義 ， 是虛構(gòu)的 、 想像的 ， 但在解決許多問(wèn)題時(shí) ，使用類似于 ? ? 這樣的式子卻帶來(lái)極大的方便 ， 那么 ， ● 能作為 ? 數(shù) ? 嗎 ？ 它真的是無(wú)意義的 、 虛幻的嗎 ？ 15?15?