【正文】 字越高，則排名越高。 熵權(quán)系數(shù)法 ① 歸一化處理，計(jì)算第 j項(xiàng)指標(biāo)下第 i個(gè)球員的 指標(biāo)值比重： ??? mi ijijijxx1/p4 ② 計(jì)算熵權(quán)重。 灰色預(yù)測 我們計(jì)算的只是球員目前階段的水平，球員可能還有一定的發(fā)展空間，這就需要我們用灰色預(yù)測來預(yù)測球員短時(shí)間內(nèi)的成績變化。我們通過運(yùn)行灰色預(yù)測 matlab 程序得到他們下一年的平均得分，與之前的平均得分相結(jié)合，重新得出一個(gè)評分。 ?乒乓球 成對比較矩陣為： 15/13/1513/535/31 計(jì)算得 CR=0,可用其特征向量作為權(quán)向量 則權(quán)向量為（ 1/3 5/9 1/9) 通過層次分析法得出前十名球員為 9 熵權(quán)系數(shù)法得到的前 5 名球員為 張怡寧 王楠 鄧亞萍 瓦爾德內(nèi)爾 張繼科 通過問卷調(diào)查，我們可以看出，最終乒乓球和籃球所得到的前五名均為大眾心目中的前五名，因此這種模型得出的結(jié)論比較合理。 優(yōu)點(diǎn) 在此次數(shù)學(xué)建模中，運(yùn)用了層次分析法和熵權(quán)系數(shù)法，灰色預(yù)測等數(shù)學(xué)方法。同時(shí)，層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，而且計(jì)算比較簡便，所得結(jié)果簡單明確，具有一定的實(shí)用性。后面用的灰色預(yù)測模型，充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到未知信息。 有些評價(jià)指標(biāo)無法化成數(shù)據(jù)應(yīng)用到此模型中去，例如動(dòng)作的優(yōu)美，球員的心理素質(zhì)，團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力等等，所以對最佳球員的評選也不是很全面的。另外，某些球員在前期的比賽可能并不是很突出優(yōu)秀，但是后期卻有很大的進(jìn)步，然而這個(gè)模型計(jì)算的是平均分。 乒乓球考慮因素只是三大重要賽事，其他比賽均沒有考慮，會(huì)導(dǎo)致不能準(zhǔn)確評價(jià)運(yùn)動(dòng)員水平。 六、參考文獻(xiàn) （ 1） 姜啟源、謝金星、葉俊，數(shù)學(xué)模型（第四版） （ 2） 梁建林、羅應(yīng)培、王冬利，《基于熵權(quán)系數(shù)法模型評標(biāo)》 （ 3） 百度文庫，《灰色預(yù)測模型》 （ 4） （ 5） 11 七、附錄 matlab程序 function gm(x)。 %清屏 ,以使計(jì)算結(jié)果獨(dú)立顯示 format long。 end。 %取輸入數(shù)據(jù)的樣本量 z=0。 be(i,:)=z。 end for i=1:n1 %計(jì)算數(shù)據(jù)矩陣 B 的第一列數(shù)據(jù) c(i,:)=*(be(i,:)+be(i+1,:))。 end for i=1:n1 %構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣 B B(i,1)=c(i,:)。 end alpha=inv(B.39。*y。 end var(1,:)=ago(1,:) for i=1:n %如改 n 為 n+m1,可預(yù)測后 m1 個(gè)值 var(i+1,:)=ago(i+1,:)ago(i,:)。 %計(jì)算殘差 end c=std(error)/std(x)。根據(jù)參賽項(xiàng)目選拔人數(shù)和參賽選手成績等諸多限制因素建立約束條件；根據(jù)題目問題可建立目標(biāo)函數(shù)，在此基礎(chǔ)上得到模型。最后運(yùn)用 Lingo 數(shù)學(xué)軟件對模型求解得到最優(yōu)結(jié)果。在這些情況下，用 Lingo 數(shù)學(xué)軟件對模型求解，找出相應(yīng)的最佳陣容，求得每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按最悲觀估算，最佳出場陣容團(tuán)隊(duì)得分為 ；每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按最均值估算，最佳出場陣容團(tuán)隊(duì)得分為。 關(guān)鍵詞：最佳陣容 、 01 規(guī)劃 、 Lingo 數(shù)學(xué)軟件 、最優(yōu)解 17 一 問題重述 有一場由四個(gè)項(xiàng)目（高低杠、平衡木、跳馬、自由體操）組成的女子體操團(tuán)體賽，賽程規(guī)定：每個(gè)隊(duì)至多允許 10 名運(yùn)動(dòng)員參賽，每一個(gè)項(xiàng)目可以有 6 名選手參加。每個(gè)代表隊(duì)的總分是參賽選手所得總分之和，總分最多的代表隊(duì) 為優(yōu)勝者。每個(gè)隊(duì)?wèi)?yīng)有 4 人參加全能比賽，其余運(yùn)動(dòng)員參加單項(xiàng)比賽。例如： ～ 表示取得 分的概率為 ）。 2 、若對以往的資料及近期各種信息進(jìn)行分析得到：本次奪冠的團(tuán)體總分估計(jì)為不少于 分，該隊(duì)為了奪冠應(yīng)排出怎樣的陣容？以該陣容出戰(zhàn)，其奪冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有 90 ％的把握戰(zhàn)勝怎樣水平的對手？ 二、 問題分析 本論文所討論的是一個(gè)關(guān)于最佳陣容的問題。本案例的主要矛盾是隊(duì)員已有成績的限制和參賽時(shí)的要求與獲得團(tuán)隊(duì)參賽最高分的矛盾。 19 按照上述思路提出目標(biāo)函數(shù)，要建立各個(gè)約束條件，要找到眾多變量之間的數(shù)量關(guān)系。 由于隊(duì)員的安排不可能為小數(shù)，所以最佳陣容問題屬于整數(shù)規(guī)劃中的 01 規(guī)劃問題。此比賽共有 4 個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)參賽隊(duì)至多有10 名運(yùn)動(dòng)員參賽，也就是說參賽 人數(shù) 10N? ，同時(shí)每個(gè)項(xiàng)目可以有 6 名選手參加，由于每個(gè)代表隊(duì)的總分是參賽選手所得總分之和，總分最多的代表隊(duì)為優(yōu)勝者 ， 所以每個(gè)隊(duì)的教練在每個(gè)項(xiàng)目中都會(huì)派出 6 名運(yùn)動(dòng)員參賽 。由題中還可知道每項(xiàng)各選手的評分精確到小數(shù)點(diǎn)后一位。第一問（ 1）每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按最悲觀估算， 這個(gè)最悲觀就是在每個(gè)參賽選 手各單項(xiàng)最差的成績下進(jìn)行計(jì)算 .第一問（ 2）每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分 按均值估算即按每個(gè)參賽選手各單項(xiàng)得分的期望值作為所要求的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算 。第二問（ 2）中的奪冠前景即指奪冠的概率。第二問（ 3）就是在求該陣容有 90%的把握戰(zhàn)勝多少總分?jǐn)?shù)的對手。 因?yàn)閳F(tuán)體總分是參與了的隊(duì)員各項(xiàng)得分的總和，因此我們給出了得分矩陣 B如下： B=1 1 1 2 1 3 1 42 1 2 2 2 3 2 41 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 b b b b b b b b ........................... b b b b ???????? 其中 ijb 表示 i 號隊(duì)員參加 j 項(xiàng)目所得的分。 首先把表 1經(jīng) Excel 軟件處理得出每個(gè)隊(duì)員各單 項(xiàng)得分最低情況下的表 。i=1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10） 將此模型輸入 LINGO編程（程序見附表程序 1）得出在每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分最悲觀情況下的團(tuán)體總分 Q最高為 ，此時(shí)的最佳陣 容 A為 A= 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1?????????????????????????????? 即表示隊(duì)員 2， 5， 6， 9參加全能比賽，此外還有隊(duì)員 1參加了項(xiàng)目 3（跳馬）的比賽，隊(duì)員 3參加了項(xiàng)目 4（自由體操）的比賽，隊(duì)員 4參加了項(xiàng)目 2（平衡木）和項(xiàng)目 3（跳馬）的比賽，隊(duì)員 7參加了項(xiàng)目 1（高低杠）的比賽，隊(duì)員 8參加了項(xiàng)目 2（平衡木）的比賽，隊(duì)員 10參加了項(xiàng)目 1（高低杠）和項(xiàng)目 4（自由體操）的比賽 。 問題一（ 2）模型的建立與求解 對問題一（ 2）要求在每個(gè)隊(duì)員的各單項(xiàng)得分按均值估算的前提下，這里我們把均值理解為期望值 。 24 均值（期望值）估算數(shù)據(jù)表 (表 ) 項(xiàng)目 隊(duì)員 1（高低杠） 2（平衡木） 3（跳馬） 4（自由體操） 1 2 3 4 5 9 6 7 8 9 10 則可得得分矩陣 B： B= 9 .0 9. 0 9 .5 9. 1 9 .6 9. 0 9 .0 9. 3 9 .0 9. 1 9 .0 9. 8 9 .1 9. 1 9 .5 9. 0 9 .0 9. 4 8 .9 9. 7 9 .7 9. 1 8 .9 9. 0 9 .8 9. 0 8 .9 9. 2 9 .0 9. 8 9 .1 9. 3 9 .0 9. 2 9 .0 9. 7 9 .4 9. 1 9 .2 9. 5?????????????????? 綜上，這個(gè)問題的目標(biāo)為可以寫作： Max 1 0 4 1 0 41 1 1 1 (1 )ij i ij i iji j i jQ b c b c a? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 約束條件： 101 iji a?? =6， ic = 41 ijj a??， 25 101 ii c??=4， 41(1 )i ijjca?? ?3? ， 0ija? 或 1（ j=1,2,3,4。 問題二的模型建立和求解 問題二（ 1）的分析與求解 為了解決問題二，需在問題一的模型中加入一個(gè)變量，但這樣計(jì)算變得非常復(fù)雜。 根據(jù)第一題的結(jié)果，可以看出，當(dāng)每個(gè)選手各單項(xiàng)得分取期望值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，最大值才 ，跟 相差的距離還很遠(yuǎn)，所以對數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，按每個(gè)選手各單項(xiàng)得分最大的分值進(jìn)行計(jì)算，得出在此前提下團(tuán)體總分最 大分值，然后再在 分和最大值中分段進(jìn)行討論，找出在不同總分值下的陣容，將這些陣容中各參賽選手的得分和概率分布圖畫出，再根據(jù)這些圖得出在此前提下奪冠前26 景最大的陣容 。 得出團(tuán)體總分最大的分值后，因?yàn)槊宽?xiàng)各選手的評分精確到小數(shù)點(diǎn)后一位 。 加上約束條件 1 0 4 1 0 41 1 1 1 (1 )ij i ij i iji j i jb c b c a? ? ? ???? ? ? ?=，得到陣容矩陣 A為： A= 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0?????????????????????? A= 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0?????????????????????? 此為第四種情況。 陣容一 問題 2（ 1）陣容一參賽表 項(xiàng)目 參賽隊(duì)員 總分 1 2 4 7 8 3 6 2 2 4 7 8 1 6 3 2 4 7 8 1 9 4 2 4 7 8 3 5 29 02號 4號 7號 8號 3號 6號 1號 5號 9號高低杠平衡木跳馬自由體操 陣容一概率分布圖 1 陣容二 問題 2（ 1）陣容二參賽表 項(xiàng)目 參賽隊(duì)員 總分 1 1 3 4 8 2 7 2 1 3 4 8 6 7 3 1 3 4 8 2 9 4 1 3 4 8 7 9 01號 3號 4號 8號 2號 7號 6號 9號高低杠平衡木跳馬自由體操 陣容二概率分布圖 2 陣容三 問題 2（ 1）陣容三參賽表 項(xiàng)目 參賽隊(duì)員 總分 1 1 3 4 8 2 7 2 1 3 4 8 6 7 3 1 3 4 8 2 9 4 1 3 4 8 5 9 30 01號 3號 4號 8號 2號 7號 6號 9號 5號高低杠平衡木跳馬自由體操 陣容三概率分布圖 3 陣容四 問