簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征-在線瀏覽
2025-07-17 03:41本頁(yè)面
【正文】 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征 一個(gè)物體經(jīng)過(guò)其平衡位置來(lái)回往復(fù)地運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為機(jī)械振動(dòng) 。 動(dòng)力學(xué)特征： （ 1）在怎樣的力（或力矩）的作用下物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)； （ 2）根據(jù)力（或力矩）和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，求出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。 若作用于質(zhì)點(diǎn)的力總與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移（線位 移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱(chēng)線性回復(fù)力。 討論的步驟為： （ 1）先確定振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置，并以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系；（ 2）讓振動(dòng)系統(tǒng)偏離平衡位置，然后分析系統(tǒng)的受力情況，求出系統(tǒng)所受的合外力；（ 3）根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，導(dǎo)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。把它平放在光滑水平面上。二階線性微分方程即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。 167。 A 和 是待定常數(shù)，需要根據(jù)初始條件來(lái)決定，它就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。 )c o s ( 0 ?? ?? tAx?● 周期 ? ?)(212,2,222)c o s ()(c o s00000HzTfcITglTkmTTTtATtAtps???????????????????????????或. ● 振幅 物體離開(kāi)平衡位置最大位移的絕對(duì)值。 )s i n(),c os ( 000 ????? ?????? tAdtdxvtAx20202000000s i nc o s,0???? vxAAvAxvvxxt???????????? 代入得將初始條件● 初相 在 A 和 已知的前提下，還有一個(gè)量是十分重要的，那就是 ，這個(gè)量叫相位。 是 注意：上式不能完全確定 ，有兩個(gè)可能的 值，還需根據(jù) 和 的正、負(fù)判斷哪個(gè) 值正確。 tx ?[例題 ] 質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線 如圖所示，試根據(jù)圖推出該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)式。又據(jù)圖有 ，代入振動(dòng)式得 [解 ] 因 ，從圖得 A = 4，下面計(jì)算 和 。故取 1?t 0)3s i n( ???????Av 0)3s in ( ????.33 ??? ?? .32 ?? ?? 于是求得質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)式為 )332c os (4 ?? ?? tx本題在計(jì)算過(guò)程中取 的單位為 rad/s， t 的單位為 s ， 的單位為 rad ， x 和 A的單位為 cm。其上一點(diǎn)給出質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨時(shí)間推移，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在相平面上的代表點(diǎn)移動(dòng)而畫(huà)出曲線，稱(chēng)相軌跡或相圖。在相圖當(dāng)中失去的是 和 隨時(shí)間變化的信息，得到的是有關(guān)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全局信息。龐加萊所開(kāi)拓的這一新領(lǐng)域稱(chēng)為 微分方程的定性理論 ，至今有著深遠(yuǎn)的影響。 )(tx )(tx?三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量表示法 現(xiàn)在討論用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 x x ??? ?t0O 0x 在描述振動(dòng)的物理量中，要數(shù)相位較抽象，但相位的概念又是很重要的。例如，對(duì)于沿 x 軸振動(dòng)的兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)： ),c os (),c os (222111????????tAxtAx兩者的相位差（即初相差）可能有下列四種情況： .2,1,0)4(。,)2(。求證細(xì)圓環(huán)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出它的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。當(dāng)環(huán)心 C 在 x 軸上，力矩全為零，即為平衡位置。 0??0?167。 )()(s i n21)(s i n2121)(c o s2121200220220220222mktkAEtmAmvEtkAkxEkkp?????????????????和振幅總能量決定于勁度系數(shù)—21 2kAEEE pk ??? 彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總機(jī)械能守恒。 ， 振幅的大小反映了振動(dòng)能量的大小即振動(dòng)強(qiáng)度的大小，這就是振幅的物理意義！ 2AE ? ?167。 一、方向相同，頻率相同 )c o s (),c o s ( 222111 ???? ???? tAxtAx 設(shè)兩振動(dòng)互不影響，則由運(yùn)動(dòng)的合成可知，質(zhì)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)仍在這一直線上，它離開(kāi)平衡位置的位移為 )c o s ()c o s ( 221121 ???? ?????? tAtAxxx現(xiàn)在利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出這個(gè)合成結(jié)果。 所以 x 可寫(xiě)為 時(shí)刻矢量 A 與 x 軸的夾角。有關(guān)的這一項(xiàng)稱(chēng)為 干涉項(xiàng) ，這是一個(gè)非常重要的結(jié)果。 （ 3）兩分振動(dòng)的相位差為其它值時(shí)，合振動(dòng)的振幅 2121 AAAAA ????二、方向相同，頻率不同 )c o s (),c o s ( 02220211 ???? ???? tAxtAx 為了突出頻率不同引起的效果，設(shè) A1=A2=A，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知， A A2有不同的角速度，兩矢量間夾角將隨時(shí)間變化，矢量合成的平行四邊形也將不斷地隨時(shí)間變形，所以 A的大小和角速度都是隨時(shí)間變化的，在 x 軸上的投影顯然不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。每當(dāng) 或 的整數(shù)倍，合成振幅最大（ A1+A2 ），合成振動(dòng)最強(qiáng)；每當(dāng) 的奇數(shù)倍，合成振幅最?。?| A1A2|），合成振動(dòng)最弱，這樣，頻率不同的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱，那末， 這種強(qiáng)弱變化是否有節(jié)奏？ 有這樣一些時(shí)刻，其時(shí) 即 A1 和 A2 重疊，上式就是取 A1 和 A2 重疊的時(shí)刻作為初始時(shí)刻，并把它們?cè)谶@時(shí)刻同 x 軸夾角記作 ，在這時(shí)刻，合成振幅最大，為確定起見(jiàn)，設(shè) ，于是 A2將趕到 A1前面去， A2領(lǐng)先的角度 越來(lái)越大，經(jīng)過(guò)時(shí)間 A2領(lǐng)先半圈，這時(shí)，合成振幅最小，又經(jīng)過(guò)
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