【正文】 利亞對數(shù)學解題理論的建設主要是通過 “怎樣解題 ”表來實現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也 在 “解題講習班 ”中對教師現(xiàn)身說法．他的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學習過程，他的目標不是找出可以機械地用于解決一切問題的 “萬能方法 ”，而是希望通過對于解題過程的深入分析，特別是由已有的成功實踐，總結(jié)出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用．他所總結(jié)的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化方法、從后往前推、設立次目標、歸納與類比、考慮相關輔助問題、對問題進行變形等，都在解題中行之有效．尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設計在一 張解題表中，并通過一系列的問句或建議表達出來，使得更有啟發(fā)意義．著名數(shù)學家互爾登在瑞士蘇黎世大學的會議致詞中說過： “每個大學生、每個學者、特別是每個教師都應該讀這本引人入勝的書 ”(1952年 2 月 2 日 )． ２ 怎樣解題表 波利亞是圍繞 “怎樣解題 ”、 “怎樣學會解題 ”來開展數(shù)學啟發(fā)法研究的，這首先表明其對“問題解決 ”重要性的突出強調(diào)，同時也表明其對 “問題解決 ”研究興趣集中在啟發(fā)法上．波利亞在風靡世界的《怎樣解題》（被譯成 14 種文字）一書中給出的 “怎樣解題表 ”，正是一部 “啟發(fā)法小詞典 ”． ２．１ “怎樣解題 ”表的呈現(xiàn) 弄清問題 第一，你必須弄清問題 未知是什么 ?已知是什么 ?條件是什么 ?滿足條件是否可能 ?要確定未知，條件是否充分 ?或者它是否不充分 ?或者是多余的 ?或者是矛盾的 ? 畫張圖，引入適當?shù)姆枺? 把條件的各個部分分開．你能否把它們寫下來 ? 擬定計劃 第二，找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系．如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題． 你應該最終得出一個求解的計劃 你以前見過它嗎 ?你是否見過相同的問題而形式稍有不同 ? 你是否知道與此有關的問題 ?你是否知道一 個可能用得上的定理 ? 看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題． 這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題． 你能不能利用它 ?你能利用它的結(jié)果嗎 ?你能利用它的方法嗎 ?為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素 ? 你能不能重新敘述這個問題 ?你能不能用不同的方法重新敘述它 ? 回到定義去． 如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題．你能不能想出一個更容易著手的有關問題 ?一個更普遍的問題 ?一個更特殊的問題 ?一個類比的問題 ?你能否解決這個問題的 一部分 ?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分．這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度 ?它會怎樣變化 ?你能不能從已知數(shù)據(jù)導出某些有用的東西 ?你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù) ?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近 ? 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù) ?你是否利用了整個條件 ?你是否考慮了包含在問題中的必要的概念 ? 實現(xiàn)計劃 第三，實行你的計劃 實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟． 你能否清楚地看出這一步驟是正確的 ?你能否證明這一步驟是正確的 ? 回 顧 第四，驗算所得到的解． 你能否檢驗這個論證 ?你能否用別的方法導出這個結(jié)果 ?你能不能一下子看出它來 ? 你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題 ? 下面是實踐波利亞解題表的一個示例，能夠展示波利亞解題風格的心路歷程，娓娓道來，栩栩如生． ２．２ 怎樣解題 ”表的實踐 例 給定正四棱臺的高 h，上底的一條邊長 a 和下底的一條邊長 b，求正四棱臺的體積 F． (學生已學過棱柱、棱錐的體積 ) 講解 第一，弄清問題． 問題 1．你要求解的是什么 ? 要求解的是幾何體的體積，在思維中的 位置用一個單點 F 象征性地表示出來 (圖 1)． 問題 2．你有些什么 ? 一方面是題目條件中給出的 3 個已知量 a、 b、 h；另一方面是已學過棱柱、棱錐的體積公式，并積累有求體積公式的初步經(jīng)驗．把已知的三個量添到圖示處 (圖 2)，就得到新添的三個點 a、 b、 h；它們與 F 之間有一條鴻溝，象征 問題尚未解決，我們的任務就是將未知量與已知量聯(lián)系起來． 第二，擬定計劃． 問題 3．怎樣才能求得 F? 由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺的幾何結(jié)構 (棱臺的定義 )告訴我們，棱臺是 “用一個平行于底面的平面去截棱錐 ”，從一個大棱錐中截去一個小棱錐所生成的．如果知道了相應兩棱錐的體積 B 和 A，我們就能求出棱臺的體積Ｆ＝Ｂ－Ａ． ① 我們在圖示上引進兩個新的點 A和 B，用斜線把它們與 F 聯(lián)結(jié)起來，以此表示這三個量之間的聯(lián)系 (圖 3，即 ① 式的幾何圖示 )．這就把求 F 轉(zhuǎn)化為求 A、 B． 圖 3 問題 4．怎樣才能求得 A與 B? 依據(jù)棱錐的體積公式 (V＝ 13 Ｓｈ )，底面積可由已知條件直接求得，關鍵是如何求出兩個棱錐的高．并且，一旦求出小棱錐的高 x，大棱錐的高也就求出，為ｘ＋ｈ． 我們在圖示上引進一個新的點 x，用斜 線把 A與 x、ａ連結(jié)起來，表示 A能由 a、ｘ得出， A＝ 13ａ 2ｘ；類似地，用斜線把 B 與 b、ｈ、ｘ連結(jié)起來，表示 B 可由ｂ、ｈ、ｘ得出，Ｂ＝ 13ｂ 2（ｘ＋ｈ） (圖 4)，這就把求 A、 B 轉(zhuǎn)化為求 x． 圖 4 問題 5．怎樣才能求得 x？ 為了使未知數(shù) x與已知數(shù) a、ｂ、ｈ聯(lián)系起來，建立起一個等量關系．我們調(diào)動處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗，進行 “平面化 ”的思考．用一個通過高線以及底面一邊上中點 (圖 5中，點 Q)的平面去截兩個棱錐，在這個截面上有兩個相似三角形能把 a、 b、 h、 x聯(lián)系起來(轉(zhuǎn)化為平面幾何問題 )，由 △ＶＰＯ 1∽△ ＶＱＯ 2得 圖 5 xax h b?? ② 這就