【正文】 = AV( f )A′+V(ε)=AA′+D ? 如果 A只有少數(shù)幾列，則上述分解式揭示了 Σ的一個(gè)簡單結(jié)構(gòu)。通常假定 ? 該假定和上述關(guān)系式構(gòu)成了 正交因子模型 。公共因子出現(xiàn)在每一個(gè)原始變量的表達(dá)式中，可理解為原始變量共同具有的公共因素。 正交因子模型 ?一、數(shù)學(xué)模型 ?二、正交因子模型的性質(zhì) ?三、因子載荷矩陣的統(tǒng)計(jì)意義 8 一、數(shù)學(xué)模型 ? 設(shè)有 p維可觀測的隨機(jī)向量 ，其均值為 ，協(xié)差陣為 Σ=(σij)。 ? 例 公司老板對 48名應(yīng)聘者進(jìn)行面試，并給出他們在 15個(gè)方面所得的分?jǐn)?shù)，這 15個(gè)方面是： x1：申請書的形式 x9：經(jīng)驗(yàn) x2：外貌 x10：積極性 x3：專業(yè)能力 x11：抱負(fù) x4：討人喜歡 x12：理解能力 x5：自信心 x13：潛力 x6：精明 x14：交際能力 x7：誠實(shí) x15：適應(yīng)性 x8：推銷能力 ? 通過因子分析，這 15個(gè)方面可以歸結(jié)為應(yīng)聘者的進(jìn)取能干、經(jīng)驗(yàn)、討人喜歡的程度、專業(yè)能力和外貌這五個(gè)因子。這十個(gè)全能項(xiàng)目是： x1： 100米跑 x6： 11米 跨欄 x2： 跳遠(yuǎn) x7： 鐵餅 x3： 鉛球 x8： 撐桿跳高 x4： 跳高 x9： 標(biāo)槍 x5： 400米跑 x10： 1500米 跑 ? 經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后所作的因子分析表明，十項(xiàng)得分基本上可歸結(jié)于他們的爆發(fā)性臂力 強(qiáng)度、短跑速度、 爆發(fā) 性腿部強(qiáng)度和跑的耐力 這四個(gè)方面，每一方面都稱為一個(gè)因子。 ? (5)主成分不會(huì)因其提取個(gè)數(shù)的改變而變化，但因子往往會(huì)隨模型中因子個(gè)數(shù)的不同而變化。 3 1 1 1 1 1 12 2 1 12 2 2 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2mmmmp p p p p m m px a f a f a fx a f a f a fx a f a f a f????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??1 11 1 21 2 1 12 12 1 22 2 2 21 1 2 2ppppm m m pm p my a x a x a xy a x a x a xy a x a x a x?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?axaxax1 2 1 2, , , , , ,pmx x x y y y?主 成 分 分 析 ：1 2 1 2, , , , , ,pmx x x f f f?：因 子 分 析4 ? (3)在主成分分析中，強(qiáng)調(diào)的是用少數(shù)幾個(gè)主成分解釋總方差；而在因子分析中，強(qiáng)調(diào)的是用少數(shù)幾個(gè)因子去描述協(xié)方差或相關(guān)關(guān)系 。 ? 因子分析與主成分分析主要有如下一些區(qū)別 ： ? (1)主成分分析涉及的只是一般的變量變換，它不能作為一個(gè)模型來描述，本質(zhì)上幾乎不需要任何假定；而因子分析需要構(gòu)造一個(gè)因子模型，并伴有幾個(gè)關(guān)鍵性的假定 。由于因子往往比主成分更易得到解釋，故因子分析比主成分分析更容易成功，從而有更廣泛的應(yīng)用。 引言 ? （本身作為目的的）主成分分析的成功需滿足如下兩點(diǎn)： (1)前 (少數(shù) )幾個(gè)主成分具有較高的累計(jì)貢獻(xiàn)率； (通常較易得到滿足 ) (2)對主成分給出符合實(shí)際背景和意義的解釋 。 因子旋轉(zhuǎn) ?167。 正交因子模型 ?167。第八章 因子分析 ?167。 引言 ?167。 參數(shù)估計(jì) ?167。 因子得分 1 167。 (往往正是主成分分析的困難之處 ) ? 因子分析的目的和用途與主成分分析類似， 它也是一種降維方法。 2 ? 因子分析起源于 20世紀(jì)初， (Pearson)和 C.斯皮爾曼 (Spearman)等學(xué)者為定義和測定智力所作的努力，主要是由對心理測量學(xué)有興趣的科學(xué)家們培育和發(fā)展了因子分析。 ? (2)主成分是原始變量的線性組合；而在因子分析中，原始變量是因子的線性組合，但因子卻一般不能表示為原始變量的線性組合。 ? (4)主成分的解是惟一的（除非含有相同的特征值或特征向量為相反符號(hào)）；而因子的解可以有很多，表現(xiàn)得較為靈活（主要體現(xiàn)在因子旋轉(zhuǎn)上），這種靈活性使得變量在降維之后更易得到解釋，這是因子分析比主成分分析有更廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因。 5 ? 例 林登 (Linden)根據(jù)他收集的來自 139名運(yùn)動(dòng)員的比賽數(shù)據(jù)，對第二次世界大戰(zhàn)以來奧林匹克十項(xiàng)全能比賽的得分作了因子分析研究。十項(xiàng)得分與這四個(gè)因子之間的關(guān)系可以描述為如下的因子模型： xi=μi+ai1f1+ai2f2+ai3f3+ai4f4+εi, i=1,2,?,10 其中 f1, f2, f3, f4表示四個(gè)因子，稱為 公共因子 (mon factor), 6 aij稱為 xi在因子 fj上的 載荷 (loading)， μi是 xi的均值， εi是 xi不能被四個(gè)公共因子解釋的部分，稱之為 特殊因子 (specific factor)。 7 167。因子分析的一般模型為 其中 f1, f2,?, fm為公共因子， ε1, ε2,?, εp為特殊因子，它們都是不可觀測的隨機(jī)變量。上式可用矩陣表示為 x=μ+Af+?? 12( , , , )px x x ??x12( , , , )p? ? ? ??μ1 1 1 1 1 12 2 1 12 2 2 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2mmmmp p p p p m m px a f a f a fx a f a f a fx a f a f a f????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??9 式中 為公共因子向量， 為特殊因子向量， 稱為 因子載荷矩陣 。由上述假定可以看出，公共因子彼此不相關(guān)且具有單位方差，特殊因子也彼此不相關(guān)且和公共因子也不相關(guān)。由于 D是對角矩陣，故 Σ的非對角線元素可由 A的元素確定，即因子載荷完全決定了原始變量之間的協(xié)方差。 ? 出于降維的需要，我們常常希望 m要比 p小得多，這樣前述 Σ的分解式通常只能近似成立，即有 Σ=AA′+D 近似程度越好，表明因子模型擬合得越佳。擬合得太差的因子模型是沒有什么實(shí)際意義的，故實(shí)踐中 m也不應(yīng)選得過小。 ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?****C ov , C ov ,EEVV? ???????????????fεfIε Df ε f ε C000* 2 * 2 * 2 * 2 2 212* d ia g ( , , , ) , 1 , 2 , ,p i i ic i