20xx年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)-在線瀏覽
2024-10-26 13:47本頁面
【正文】 ? ?的頂點(diǎn)為 P，與 x 軸的正半軸交于 A 1( ,0)x 、B 2( ,0)x （ 12xx? ）兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C， PA 是△ ABC 的外接圓的切線 .設(shè) M 3(0, )2?，若 AM//BC，求拋物線的解析式 . 解 易求得點(diǎn) P 23(3 , )2b b c?，點(diǎn) C(0, )c . 設(shè)△ ABC 的外接圓的圓心為 D，則點(diǎn) P 和點(diǎn) D 都在線段 AB 的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (3, )bm . 顯然， 12,xx 是 一 元 二 次 方 程 21 06 x bx c? ? ? ?的兩根，所以 21 3 9 6x b b c? ? ?，22 3 9 6x b b c? ? ?，又 AB 的中點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (3,0)b ，所以 AE＝ 296bc? .…………………… 5 分 因?yàn)?PA 為⊙ D 的切線，所以 PA⊥ AD，又 AE⊥ PD，所以由射影定理可得 2AE PE DE?? ，即2 2 23( 9 6 ) ( ) | |2b c b c m? ? ? ?，又易知 0m? ，所以可得 6m?? . …………………… 10 分 又由 DA＝ DC 得 22DA DC? ，即 2 2 2 2 2( 9 6 ) ( 3 0 ) ( )b c m b m c? ? ? ? ? ?，把 6m?? 代入后可解得 6c?? （另一解 0c? 舍去） . …………………… 15 分 又因?yàn)?AM//BC，所以 OA OMOB OC? ，即 223||3 9 62| 6 |3 9 6b b cb b c??? ????. …………………… 20 分 把 6c?? 代入解得 52b? （另一解 52b?? 舍去） . 因此，拋物線的解析式為 215 662y x x? ? ? ?. …………………… 25 分 第二試 （ B） 一． （本題滿分 20 分） 已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為 60，求它的外接圓的面積 . 解 設(shè)直角三角形的三邊長分別為 ,abc（ abc?? ），則 60abc? ? ? . 顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長 c ，下面先求 c 的 值 . 由 abc??及 60abc? ? ? 得 60 3a b c c? ? ? ?，所以 20c? . 由 a b c?? 及 60abc? ? ? 得 60 2a b c c? ? ? ?，所以 30c? . 又因?yàn)?c 為整數(shù)，所以 21 29c?? . …………………… 5 分 根據(jù)勾股定理可得 2 2 2a b c??，把 60c a b? ? ? 代入，化簡(jiǎn)得 60( ) 1800 0ab a b? ? ? ?，所以 3 2 2( 60 ) ( 60 ) 180 0 2 3 5ab? ? ? ? ? ?， …………………… 10 分 2020 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第 5 頁（ 共 7 頁） 因 為 ,ab均為整數(shù)且 ab? ，所以只可能是 3260 2 5,60 3 5,ab? ? ? ???? ? ???或 22260 2 5 ,60 2 3 ,ab? ? ? ???? ? ??? 解得 20,15,ab??? ??或 10,??? ?? …………………… 15 分 當(dāng) 20, 15ab??時(shí)， 25c? ， 三角形的外接圓的面積為 6254?； 當(dāng) 10, 24ab??時(shí)， 26c? ， 三角形的外接圓的面積為 169? . …………………… 20 分 二． （本題滿分 25 分） 如圖， PA 為⊙ O 的切線， PBC 為⊙ O 的割線， AD⊥ OP于點(diǎn) D， △ ADC 的外接圓與 BC 的另一個(gè)交點(diǎn)為 ：∠ BAE＝∠ ACB. EDPOB CA 證明：連接 OA， OB， OC， BD. ∵ OA⊥ AP， AD⊥ OP， ∴由射影定理可得 2PA PD PO??， 2AD PD OD??. …………………… 5 分 又由切割線定理可得 2PA P B P C??，∴ P B P C PD PO? ? ? ，∴ D、 B、 C、 O 四點(diǎn)共圓， …………………… 10 分 ∴∠ PDB＝∠ P
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