【正文】 延長BP交AC于E， ∵m∥n， ∴∠ECP=∠BDP， ∴CP=DP，在△CPE和△DPB中， ∴△CPE≌△DPB， ∴PE=PB，∵∠APB=90176。20202021九年級數(shù)學 平行四邊形的專項 培優(yōu) 易錯 難題練習題及答案解析一、平行四邊形1．（問題情景）利用三角形的面積相等來求解的方法是一種常見的等積法，此方法是我們解決幾何問題的途徑之一．例如：張老師給小聰提出這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=3，AD=6，問△ABC的高AD與CE的比是多少？小聰?shù)挠嬎闼悸肥牵焊鶕?jù)題意得：S△ABC=BC?AD=AB?CE．從而得2AD=CE，∴ 請運用上述材料中所積累的經驗和方法解決下列問題：（1）（類比探究）如圖2，在?ABCD中，點E、F分別在AD，CD上，且AF=CE，并相交于點O，連接BE、BF，求證：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如圖3，已知直線m∥n，點A、C是直線m上兩點，點B、D是直線n上兩點，點P是線段CD中點，且∠APB=90176。兩平行線m、n間的距離為4．求證：PA?PB=2AB．（3）（遷移應用）如圖4，E為AB邊上一點，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分別為D，C，∠DAB=∠B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN．求△DEM與△CEN的周長之和．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）5+【解析】分析：(1)、根據(jù)平行四邊形的性質得出△ABF和△BCE的面積相等，過點B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，從而得出AF=CE，然后證明△BOG和△BOH全等，從而得出∠BOG=∠BOH，即角平分線；(2)、過點P作PG⊥n于G，交m于F，根據(jù)平行線的性質得出△CPF和△DPG全等，延長BP交AC于E，證明△CPE和△DPB全等，根據(jù)等積法得出AB=APPB，從而得出答案；(3)、延長AD，BC交于點G，過點A作AF⊥BC于F，設CF=x，根據(jù)Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根據(jù)等積法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，從而得出兩個三角形的周長之和．同理：EM+EN=AB詳解：證明：（1）如圖2， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABF=S?ABCD，S△BCE=S?ABCD， ∴S△ABF=S△BCE，過點B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H， ∴S△ABF=AFBG，S△BCE=CEBH，∴AFBG=CEBH，即：AFBG=CEBH， ∵AF=CE， ∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中， ∴Rt△BOG≌Rt△BOH， ∴∠BOG=∠BOH，∴OB平分∠AOC，（2）如圖3，過點P作PG⊥n于G，交m于F， ∵m∥n， ∴PF⊥AC，∴∠CFP=∠BGP=90176。 ∴AE=AB， ∴S△APE=S△APB， ∵S△APE=AEPF=AE=AB，S△APB=APPB，∴AB=APPB， 即：PA?PB=2AB；（3）如圖4，延長AD，BC交于點G， ∵∠BAD=∠B， ∴AG=BG，過點A作AF⊥BC于F，設CF=x（x＞0）， ∴BF=BC+CF=x+2， 在Rt△ABF中，AB=，根據(jù)勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2， 在Rt△ACF中，AC=，根據(jù)勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2， ∴x=﹣1（舍）或x=1， ∴AF==5，連接EG， ∵S△ABG=BGAF=S△AEG+S△BEG=AGDE+BGCE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5， 在Rt△ADE中，點M是AE的中點， ∴AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN， ∵AB=AE+BE， ∴2DM+2CN=AB， ∴DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB ∴△DEM與△CEN的周長之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]=（DE+CN）+AB=5+．點睛：本題主要考查的就是三角形全等的判定與性質以及三角形的等積法，綜合性非常強，難度較大．在解決這個問題的關鍵就是作出輔助線，然后根據(jù)勾股定理和三角形全等得出各個線段之間的關系．2．如果兩個三角形的兩條邊對應相等，夾角互補，那么這兩個三角形叫做互補三角形，如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF，則圖中的兩個三角形就是互補三角形．（1）用尺規(guī)將圖1中的△ABC分割成兩個互補三角形；（2）證明圖2中的△ABC分割成兩個互補三角形；（3）如圖3，在圖2的基礎上再以BC為邊向外作正方形BCHI．①已知三個正方形面積分別是1110，在如圖4的網格中（網格中每個小正方形的邊長為1）畫出邊長為、的三角形，并計算圖3中六邊形DEFGHI的面積．②若△ABC的面積為2，求以EF、DI、HG的長為邊的三角形面積．【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）①62；②6【解析】試題分析：（1）作BC邊上的中線AD即可．（2）根據(jù)互補三角形的定義證明即可．（3）①畫出圖形后，利用割補法求面積即可．②平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，只要證明S△EFM=3S△ABC即可．試題解析：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD，△ABD和△ADC是互補三角形．（2）如圖2中，延長FA到點H，使得AH=AF，連接EH．∵四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90176?！唷鰽EF和△ABC是兩個互補三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90176。+90176。﹣x，∵∠DBI=360176。﹣90176。﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180176。AC=60cm，∠A=60176。和∠DEF=90176。﹣∠A=30176?！郉F=CD=2t，∴DF=AE；（2）能，∵DF∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，∴當t=10時，AEFD是菱形；（3）若△DEF為直角三角形，有兩種情況：①如圖1，∠EDF=90176。DE⊥AC，則AE=2AD，即，解得：t=12，綜上所述，當t=或12時，△DEF為直角三角形.5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90176。以線段AB為邊向外作等邊△ABD，點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F．（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；（2）若AB=6，求平行四邊形ADBC的面積．【答案】（1）見解析；（2）S平行四邊形ADBC=．【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，E為AB的中點，則CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60176。.又∠D=60176。所以AD∥BC，即FD//BC，則四邊形BCFD是平行四邊形.（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可