【正文】 ′的位置，AB′與CD交于點E.（1）求證：△AED≌△CEB′（2）若AB = 8，DE = 3，點P為線段AC上任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥ + PH的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折疊的性質(zhì)知，則由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的長，然后在中，利用勾股定理即可求得的長，再過點作于，由角平分線的性質(zhì)，可得，易證得四邊形是矩形，繼而可求得答案.【詳解】（1）四邊形為矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，過點作于， ， ， ， ， 、共線， ，四邊形是矩形， ， .【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.3．如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點（不與點B、C重合），連接DE、點C關于直線DE的對稱點為C′，連接AC′并延長交直線DE于點P，F(xiàn)是AC′的中點，連接DF．（1）求∠FDP的度數(shù)；（2）連接BP，請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關系，并證明；（3）連接AC，若正方形的邊長為，請直接寫出△ACC′的面積最大值．【答案】（1）45176。DE和∠ADF＝∠C39。＝∠ADC＝45176。（SAS），得BP＝DP39。是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（3）先作高線C39。在BD上時，C39。D，∠CDE＝∠C39?！郃D＝C39。的中點，∴DF⊥AC39。DF，∴∠FDP＝∠FDC39。＝∠ADC＝45176?！虯P交PD的延長線于P39。＝90176。∴∠DAP39。∵∠DFP＝90176?！唷螾39?！郃P＝AP39。中，∵，∴△BAP≌△DAP39?！郉P+BP＝PP39。作C39。C＝AC?C39。G最大值，△AC39。在BD上時，C39。D＝，OD＝AC＝1，∴C39。C＝．【點睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．4．已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點C在第一象限，折痕為EF（點E，F(xiàn)是折痕與矩形的邊的交點），點P為點D的對應點，再將紙片還原。 【答案】（I）①點F的坐標為；②點F的坐標為；（II）【解析】【分析】（I）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標。(Ⅱ)當O,P,F點共線時OP的長度最短.【詳解】解：（I）①∵折痕為EF,點P為點D的對應點∵四邊形OBCD是矩形，點F的坐標為②∵折痕為EF，點P為點D的對應點.∵四邊形OBCD是矩形，；∴四邊形DEPF是平行四邊形.，是菱形. 設菱形的邊長為x，則，在中，由勾股定理得 解得 ∴點F的坐標為 （Ⅱ）【點睛】此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，關鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進行解答，屬于中考壓軸題．5．在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45176。得到△ABG(如圖①)，求證：△AEG≌△AEF；(2)若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點M，N(如圖②)，求證：EF2=ME2+NF2；(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變(如圖③)，請你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關系.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45176。得到△ABG，連結(jié)GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后證明∠GME=90176。得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADF≌△ABG，則DF=BG，再證明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代換得到EF=BE+DF．試題解析：（1）∵△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90176?！摺螮AF=45176。在△AGE與△AFE中，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）設正方形ABCD的邊長為a．將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90176?！唷鰾ME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45176。+45176。∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如圖所示，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90176。問題探究：（1）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作正方形ABC，如圖（1），則點O與點D的距離為 ．（2）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作等邊三角形ABC，如圖（2），求點O與點C的距離．問題解決：（3）若線段DE=1，線段DE的兩個端點D，E分別在射線OA、OB上滑動，以DE為邊向外作等邊三角形DEF，如圖（3），則點O與點F的距離有沒有最大值，如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)、.【解析】【分析】試題分析：(1)、如圖1中，連接OD，在Rt△ODC中，根據(jù)OD=計算即可．(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．在Rt△OCE中，根據(jù)OC=計算即可．(3)、如圖3中，當OF⊥DE時，OF的值最大，設OF交DE于H，在OH上取一點M，使得OM=DM，連接DM．分別求出MH、OM、FH即可解決問題．【詳解】試題解析：(1)、如圖1中，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90176。OC=2，CD=1，∴OD=(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．∵∠FBE=∠E=∠CFB=90176。 ∵OM=DM，∴∠MOD=∠MDO=176。 ∴DH=HM=， ∴DM=OM=，∵FH=， ∴OF=OM+MH+FH==．∴OF的最大值為．考點：四邊形綜合題．7．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF，EF. FH平分交BD于點H.（1）求證：；（2）求證：：（3）過點H作于點M，用