倒數(shù)和微分-展示頁
2024-08-23 10:53本頁面
【正文】 | | ( )yxfxy f x????例 6 設(shè)測(cè)得一球體直徑為 42cm, 測(cè)量工具的精度 0 0 0| Δ | | ( ) ( ) | | ( ) Δ | | ( ) | .xy f x f x f x x f x ???? ? ? ?則當(dāng) x? 很小時(shí) , 量 y0 的絕對(duì)誤差估計(jì)式為 : 相對(duì)誤差限則為 而 的 0| ( ) |yxfx????稱 為 y0 的絕對(duì)誤差限 , 0y為 . 試求以此直徑計(jì)算球體體積時(shí)引起的 返回 后頁 前頁 33001 π 3 8 7 9 2 .3 9 c m ,6Vd??2 2 301 ππ 42 c m 。u x v x u x v x? ? ?2 . d ( ( ) ( ) ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) 。x x x??? ??例 1 返回 后頁 前頁 2( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )3. d 。 其中的線性因子 即為 0()fx? 四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 三、高階微分 二、微分的運(yùn)算法則 導(dǎo)數(shù) . 所以 , 微分和導(dǎo)數(shù)是一對(duì)相輔相成的概念 . 返回返回 后頁 前頁 微分從本質(zhì)上講是函數(shù)增量中關(guān)于自變量增量的 數(shù) . 如果給邊長 x 一個(gè)增量 , 正方形面積的增量 Δx 的線性部分 和 的高階部分 ( ) Δx 2 Δxx ΔxΔx此 , 當(dāng)邊長 x 增加一個(gè)微小量 時(shí) , 可用 Δx ΔxΔS一、微分的概念 2 2 2Δ ( ) 2 ( )S x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 由兩部分組成 : 設(shè)一邊長為 x 的正方形 , 它的面積 S = x 2 是 x 的函 線性部分 , 請(qǐng)先看一個(gè)具體例子 . 返回 后頁 前頁 的線性部分來近似 . 由此產(chǎn)生的誤差是一個(gè)關(guān)于 的高階無窮小量 , 即以 為邊長的小 Δx 2(Δ)x Δx2x ΔxxΔxx2Δx正方形 (如圖 ). 返回 后頁 前頁 00Δ ( Δ ) ( )y f x x f x? ? ?可以表示成 Δ Δ ( Δ ) , ( 1 )y A x o x??定義 5 設(shè)函數(shù) 如果增量 0( ) , ( ) .y f x x U x??可微 , 并稱 為 f 在點(diǎn) 處的微分 , 記作 ΔAx 0x其中 A 是與 無關(guān)的常數(shù) , 則稱函數(shù) f 在點(diǎn) 0xΔx00d Δ , d ( ) Δ . ( 2 )xxxxy A x f x A x?? ?? 或由定義 , 函數(shù)在點(diǎn) 處的微分與增量只相差一個(gè) 0x關(guān)于 的高階無窮小量 ,而 是 的線性函數(shù) . Δx dy Δx返回 后頁 前頁 Δ ( 1) .Δy Aox ??于是 定理 函數(shù) 在點(diǎn) 可微的充要條件是 在 f f0x0 0d ( ) ( ) x f x x? ??點(diǎn) 可導(dǎo) , 且 0x證 (必要性 ) 如果 在點(diǎn) 可微 , 據(jù) (1) 式有 f 0x0 Δ 0 Δ 0Δ( ) l i m l i m ( ( 1 ) ) ,Δxxyf x A o Ax??? ? ? ? ?更通俗地說 , 是 的線性近似 . Δydy返回 后頁 前頁 即 在點(diǎn) 可導(dǎo) , 且 f 0x 0( ) .f x A? ?(充分性 ) 設(shè) 在點(diǎn) 處可導(dǎo) ,則由 的有限增量 f f0x公式 說明函數(shù)增量 可 0Δ ( ) Δ ( Δ ) ,y f x x o x???Δy0 0d ( ) f x x? ??且 表示為 的線性部分 ,與關(guān)于 的高 x? 0()Δf x x? Δx階無窮小量部分 之和 . (Δ)ox 所以 在點(diǎn) 可微 , f 0x微分概念的幾何解釋 , 示于下圖 : 返回 后頁 前頁 0 Δxx? xyO()y f x? Δydy0xPR?????Δ,y R Q?它是點(diǎn) P 處切線相 在點(diǎn) 的增量為 f 0xd,y R Q ??而微分是 應(yīng)于 的增量 . Δx當(dāng) 很小時(shí) ,兩者之差 相比于 | Δ d |y y Q Q???|Δ|x|Δ|x 將是更小的量 (高階無
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