蘇教版選修2-2高中數學23第1課時數學歸納法同步檢測-展示頁
2024-12-16 20:00本頁面
【正文】 而來 (n＝ 1,2,3， ? )，則第 n－ 2(n≥ 3，n∈ N*)個圖形中共有 ________個頂點． 解析 當 n＝ 1時，頂點共有 12＝ 3 4(個 )， n＝ 2時，頂點共有 20＝ 4 5(個 )， n＝ 3時，頂點共 有 30＝ 5 6(個 )， n＝ 4時，頂點共有 42＝ 6 7(個 )， 故第 n個圖形共有頂點 (n＋ 2)(n＋ 3)個， ∴ 第 n－ 2個圖形共有頂點 n(n＋ 1)個． 答案 n(n＋ 1) 11．用數學歸納法證明 12＋ 32＋ 52＋ ? ＋ (2n－ 1)2＝ 13n(4n2－ 1)(n∈ N*)． 證明 (1)當 n＝ 1 時，左邊＝ 12，右邊＝ 13 1 (4 1－ 1)＝ 1， 左邊＝右邊，等式成立． (2)假設當 n＝ k(k∈ N*， k≥ 1)時，等式成立， 即 12＋ 32＋ 52＋ ? ＋ (2k－ 1)2＝ 13k(4k2－ 1)， 則當 n＝ k＋ 1 時， 12＋ 32＋ 52＋ ? ＋ (2k－ 1)2＋ (2k＋ 1)2 ＝ 13k(4k2－ 1)＋ (2k＋ 1)2 ＝ 13k(2k＋ 1)(2k－ 1)＋ (2k＋ 1)2 ＝ 13(2k＋ 1)[k(2k－ 1)＋ 3(2k＋ 1)] ＝ 13(2k＋ 1)(2k2＋ 5k＋ 3) ＝ 13(2k＋ 1)(k＋ 1)(2k＋ 3) ＝ 13(k＋ 1)(4k2＋ 8k＋ 3) ＝ 13(k＋ 1)[4(k＋ 1)2－ 1]， 即當 n＝ k＋ 1 時，等式成立． 由 (1)， (2)可知，對一切 n∈ N*等式成立． 12．觀察下列各式： 1＝ 12 2＋ 3＋ 4＝ 3
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