【正文】 又由（ 1）知， BE ???CF． 所以四邊形 BEFC 是平行四邊形． 從而 BC ?? EF． ?? 11 分 又 BC? 平面 AEF， EF? 平面 AEF， 所以 BC // 平面 AEF． ?? 14 分 17． （本小題滿分 14 分） 如圖， 在平面直角坐標系 xOy 中， B1， B2是橢圓 2222 1 ( 0 )yx abab? ? ? ?的短軸端點， P 是 橢圓上異于點 B1， B2的 一動點．當(dāng)直線 PB1的 方程為 3yx??時，線段 PB1的長為 42． （ 1）求 橢圓的標準方程； （ 2） 設(shè)點 Q滿足： 11QB PB? ， 22QB PB? ． 求證： △ PB1B2與 △ QB1B2的面積之比為定值． 解： 設(shè) ? ?00P x y， ， ? ?11Q x y， ． （ 1） 在 3yx??中 ， 令 0x? ，得 3y? ，從而 b ? 3． ?? 2 分 由 222 193yxayx? ????? ???， 得 ? ?222 3 19xxa ???． 所以 20 269 ax a???． ?? 4 分 因為 ? ? 221 0 0 032P B x y x? ? ? ?， 所以 2264 2 2 9 aa???，解得 2 18a? ． 所以橢圓的標準方程為 22 118 9yx ??． ?? 6分 （ 2） 方法一： 直線 PB1的斜率為1 0 03PB yk x?? ， （第 17 題）0 B1 B2 P Q OP x y 由 11QB PB? ， 所以 直線 QB1的斜率為1 00 3QBxk y?? ? ． 于是直線 QB1的方程為 ： 00 33xyxy?? ?? ． 同理， QB2的方程為 ： 00 33xyxy?? ?? ． ?? 8分 聯(lián)立兩直線方程 ，消去 y，得 201 0 9yx x??． ?? 10 分 因為 ? ?00P x y， 在橢圓 22 118 9yx ??上，所以 2202118 9xy??，從而 22 00 9 2xy ? ??． 所以 01 2xx ??． ?? 12 分 所以121201 2PB BQB BS xSx?? ??． ?? 14 分 方法二： 設(shè) 直線 PB1， PB2的斜率為 k， k? ， 則直線 PB1的方程為 3y kx??． 由 11QB PB? ， 直線 QB1的方程為 1 3yxk?? ? ． 將 3y kx??代入 22 118 9yx ??，得 ? ?222 1 12 0k x kx? ? ?， 因為 P 是橢圓上異于點 B1， B2的 點 ，所以 0 0x? ，從而 0x?21221kk? ?． ?? 8 分 因為 ? ?00P x y， 在橢圓 22 118 9yx ??上，所以 2202118 9xy??， 從而 22 00 9 2xy ? ??． 所以 20 0 0200 03 3 9 12y y ykk xx x? ? ??? ? ? ? ? ?，得 12k k??? ． ?? 10 分 由 22QB PB? ，所以直線 2QB 的方程為 23y kx??． 聯(lián)立 1 323yxky kx? ?? ???? ???， 則 2621kx k? ? ，即 1 2621kx k? ? ． ?? 12 分 所以 1212201 212212621P B BQ B BkS x kS x kk??? ?? ? ??． ?? 14 分 18． （本小題滿分 16 分） 將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為 100 dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿 虛線 l1， l2裁剪成 A， B， C 三個矩形（ B， C 全等），用來制成一個柱體 ．現(xiàn)有兩種方案： l1 l 2 A B C （第 18 題）0 方案 ① ：以 1l 為母線， 將 A 作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從 B， C中各裁剪出一個圓形作為 圓柱的兩個底面； 方案 ② ： 以 1l 為側(cè)棱， 將 A 作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從 B， C中各裁剪出一個正方 形（各邊分別與 1l 或 2l 垂直）作為正四棱柱的兩個底面 ． （ 1） 設(shè) B， C 都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按 方案 ①制成的圓柱 的底面，求 底面半徑； （ 2） 設(shè) 1l 的長為 x dm，則當(dāng) x 為多少時，能使 按方案 ②制成的正四棱柱的體積最大？ 解： （ 1）設(shè)所得圓 柱的半徑為 r dm， 則 ? ?2π 2 4 100r r r? ? ?， ?? 4分 解得 ? ?? ?52π 12 π 1r ?? ?． ?? 6 分 （ 2）設(shè)所得 正四棱柱的底面邊長為 a dm， 則 2100 4xaaax???? ??≤≤，即 220.xaa x?????≤≤， ?? 9 分 方法一： 所得 正四棱柱的體積 32 0 2 1 04400 2 1 0 .x xV a xxx? ??? ????≤≤， ， ?? 11分 記函數(shù) 3 0 2 104()400 2 10 .x xpxxx? ??? ????≤， ， 則 ()px 在 ?0 2 10??， 上單調(diào)遞增， 在 ?2 10? ??? ， 上單調(diào)遞減， 所以當(dāng) 2 10x? 時， max ( ) 20 10px? ． 所以當(dāng) 2 10x? ， 10a? 時， maxV ? 2021 dm3． ?? 14 分 方法二： 202axa≤ ≤ ，從而 10a≤ ． ?? 11 分 所得正四棱柱的體積 ? ?22 2020 2 0 1 0V a x a aa??≤ ≤． 所以當(dāng) 10a? ， 2 10x? 時， maxV ? 2021 dm3． ?? 14 分 答：（ 1） 圓柱的底面半徑 為 ? ?? ?52π 12 π 1?? dm； （ 2） 當(dāng) x 為 210 時， 能使 按方案 ②制成的正四棱柱的體積最大 ． ?? 16 分 【評分說明】 ①直接“由 ? ?2 1002xxx? ? ? 得， 2 10x? 時 正四棱柱的體積最大 ”給 2 分； ②方法一中的求解過程要體現(xiàn) ( ) 2 10pxV ≤ ≤ ，凡寫成 ( ) 2 10pxV ? ≤ 的最多得 5 分， 其它類似解答參照給分． 19． （本小題滿分 16 分） 設(shè) 等比數(shù)列 a1， a2， a3， a4的公比為 q， 等差數(shù)列 b1， b2， b3， b4的 公差為 d， 且 10qd??， ． 記 i i ic a b??（ i???1， 2， 3， 4） ． （ 1）求證：數(shù)列 1 2 3c c c， ， 不是等差數(shù)列； （ 2） 設(shè) 1 1a? ， 2q? ．若數(shù)列 1 2 3c c c， ， 是等比數(shù)列，求 b2關(guān)于 d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域