【正文】 ； （ 3） 數(shù)列 1 2 3 4c c c c， ， ， 能否為等比數(shù)列？并說明理由 ． 解：（ 1）假設數(shù)列 1 2 3c c c， ， 是等差數(shù)列， 則 2 1 32c c c?? ，即 ? ? ? ? ? ?2 2 1 1 3 32 a b a b a b? ? ? ? ?． 因為 12bb， ， 3b 是 等差數(shù)列，所以 2 1 32b b b?? ． 從而 2 1 32a a a?? ． ?? 2分 又因為 12aa， ， 3a 是 等比數(shù)列，所以 22 1 3a aa? ． 所以 1 2 3a a a??，這與 1q? 矛盾，從而假設不成立 ． 所以 數(shù)列 1 2 3c c c， ， 不是等差數(shù)列 ． ?? 4 分 （ 2） 因為 1 1a? ， 2q? ，所以 12nna ?? ． 因為 22 1 3c cc? ，所以 ? ? ? ?? ?22 2 22 1 4b b d b d? ? ? ? ? ?，即 22 3b d d??， ?? 6分 由 2220cb? ? ? ， 得 2 3 2 0dd? ? ? ，所以 1d?? 且 2d?? ． 又 0d? ，所以 22 3b d d??，定義域為 ? ?1 2 0d d d d? ? ? ? ? ?R ， ，． ?? 8分 （ 3） 方法 一 ： 設 c1， c2， c3， c4成等比數(shù)列，其公比為 q1， 則1 1 11 1 1 1221 1 1 1331 1 1 1 =2=3 = .a b ca q b d c qa q b d c qa q b d c q???? ???? ???? ???①②③④，， ?? 10 分 將① +③ － 2 ②得， ? ? ? ?221 1 111a q c q? ? ? ， ⑤ 將② +④ － 2 ③得， ? ? ? ?221 1 1 111a q q c q q? ? ? ， ⑥ ?? 12 分 因為 1 0a? ， 1q? ，由⑤得 1 0c? ， 1 1q? ． 由⑤⑥得 1qq? ，從而 11ac? ． ?? 14 分 代入①得 1 0b? ． 再代入②，得 0d? ，與 0d? 矛盾 ． 所以 c1， c2， c3， c4不成等比數(shù)列 ． ?? 16分 方法 二 ： 假設數(shù)列 1 2 3 4c c c c， ， ， 是等比數(shù)列，則 3241 2 3cccc c c?? ． ?? 10 分 所以 3 2 4 32 1 3 2c c c cc c c c??? ，即 3 2 4 32 1 3 2a a d a a da a d a a d? ? ? ??? ? ? ?． 兩邊同時減 1得， 3 2 1 4 3 22 1 3 222a a a a a aa a d a a d? ? ? ??? ? ? ?． ?? 12分 因為 等比數(shù)列 a1， a2， a3， a4的公比為 q? ?1q? ， 所以 ? ?3 2 13 2 12 1 3 222 q a a aa a aa a d a a d???? ?? ? ? ?． 又 ? ?23 2 1 12 1 0a a a a q? ? ? ? ?，所以 ? ?2 1 3 2q a a d a a d? ? ? ? ?，即 ? ?10qd??． ?? 14分 這與 1q?， 且 0d? 矛盾，所以假設不成立 ． 所以數(shù)列 1 2 3 4c c c c， ， ， 不能為等比數(shù)列 ． ?? 16 分 20． （本小題滿分 16 分） 設函數(shù) ( ) si n ( 0 )f x x a x a? ? ?． （ 1） 若函數(shù) ()y f x? 是 R 上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 2）設 1 ( ) ( ) l n 1 ( 0 )2a g x f x b x b b? ? ? ? ? ?R， ， ()gx? 是 ()gx的導函數(shù) ． ① 若對任意的 0 ( ) 0x g x???， ，求證：存在 0x， 使 0( ) 0gx? ； ② 若 1 2 1 2( ) ( ) ( )g x g x x x??，求證： 2124xx b? ． 解：（ 1）由題意， ? ? 1 cos 0f x a x? ?? ≥對 x?R 恒成立， 因為 0a? ，所以 1 cosxa≥ 對 x?R 恒成立， 因為 ? ?maxcos 1x ?，所以 1 1a≥ ，從而 01a? ≤ ． ?? 3 分 （ 2） ① ? ? 1 si n ln 12g x x x b x? ? ? ?，所以 ? ? 11 cos2 bg x x x? ? ? ?． 若 0b? ，則存在 02b??，使 ? ? ? ?11 c o s 02 2 2bbg ? ? ? ? ? ? ?，不合題意 ， 所以 0b? ． ?? 5分 取 30 e bx ?? ，則 001x??． 此時 ? ? 30 0 0 01 1 1s in l n 1 1 l n 1 02 2 2bg x x x b x b e ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 所以存在 0 0x? ，使 ? ?0 0gx? ． ?? 8 分 ② 依題意，不妨設 120 xx??，令 21x tx? ，則 1t? ． 由（ 1）知函數(shù) siny x x?? 單調(diào)遞增，所以 2 2 1 1si n si nx x x x? ? ? ． 從而 2 1 2 1si n si nx x x x? ? ? ． ?? 10 分 因為 ? ? ? ?12g x g x? ，所以1 1 1 2 2 211si n l n 1 si n l n 122x x b x x x b x? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 2 1 2 111l n l n s in s in22b x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?． 所以 2120ln lnxxb ?? ? ??． ?? 12 分 下面證明 2112ln lnxx xx? ??，即證明 1lnt tt? ? ，只要證明 ? ?1ln 0ttt?? ? ?． 設 ? ? ? ?1ln 1th t t tt?? ? ?，所以 ? ? ? ?21 02thttt??? ??在 ? ?1 ??， 恒成立 ． 所以 ??ht 在 ? ?1 ??， 單調(diào)遞減，故 ? ? ? ?10h t h??，從而 ??? 得證 ． 所以 122b x x?? ， 即 2124xx b? ． ?? 16分 數(shù)學 Ⅱ （附加題） 21． 【選做題】 本題包括 A、 B、 C、 D四小題 ，請 選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 若多做，則按作答的前兩題評分 ． 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ． A． [選修 41： 幾何證明選講 ]（本小題滿分 10 分） 如圖， A， B， C 是⊙ O 上 的 3 個不同的點， 半徑 OA 交 弦 BC 于點 D． 求證： 22DB DC OD OA? ? ?． 證明：延長 AO 交⊙ O 于點 E， 則 ? ? ? ?D B D C D E D A O D O E O A O D? ? ? ? ? ? ?． ?? 5 分 因為 OE OA? ， 所以 ? ? ?