第四章抽樣分布與參數(shù)估計-展示頁
2025-02-14 11:58本頁面
【正文】 成立13n 貝努里試驗 與二項分布n 有時我們只對試驗中某事件 A是否出現(xiàn)感興趣，如果A發(fā)生，我們稱 “成功 ”，否則稱 “失敗 ”。 12n 定義 : 離散型隨機變量 X的方差為n 方差的平方根 σ稱為標(biāo)準(zhǔn)差。用表格統(tǒng)一表示出來是：11X x1 x2 … xn …P p(x1) p(x2) … p(xn) …n 這稱為離散型隨機變量 X的概率分布。如果隨機變量所有可能的取值是有限的，或可排成一列的，這種隨機變量稱為離散型隨機變量；另一種情況是隨機變量的取值范圍是一個區(qū)間或整個數(shù)軸，這種隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量。10二、隨機變量n 隨機變量 X是定義在樣本空間 Ω={ω1,ω2,…,ωn} 上的一個函數(shù)，這個函數(shù)的取值隨試驗的結(jié)果不同而變化。那么，n 因此， ，也就是說，B1,B2相互獨立。從袋中有放回地取兩次球 ,每次都取 1球。故： P( )= ，n 所以 9n 3. 事件的獨立性n 定義 對事件 A與 B，若 p(AB)=p(B)p(A)，則稱它們是統(tǒng)計獨立的，簡稱相互獨立。所以相當(dāng)于第一、第二次都是摸到黑球，第三次摸到白球。先計算 P( )。8n 例：袋中裝有 4只黑球和 1只白球，每次從袋中隨機地摸出 1只球，并換入 1只黑球。 n 推論 1 不可能事件的概率為 0，即： P(Ф)=0。n 性質(zhì) 2 P(Ω)=1。用 A表示摸出的是白球事件，則 A由兩個基本點組成，即A={白球，白球 }，有利場合數(shù) m=2。在古典概型場合 , 即基本事件發(fā)生的概率都一樣的場合 :5n 例：設(shè)一個袋子中裝有白球 2個，黑球 3個。4n （二）概率n 1. 概率的定義n 概率就是指隨機事件發(fā)生的可能性，或稱為機率，是對隨機事件發(fā)生可能性的度量。 “出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù) ”這一事件就不是簡單事件，它是由基本事件 {1}， {3}和 {5}組合而成的。3n 例：投擲一粒均勻的六面體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有可能是 6共六種?；臼录€可稱為樣本點，設(shè)試驗有 n個基本事件，分別記為 (i=1,2,… ， n)。簡單事件就是不可以再分解的事件，又稱為基本事件。2n 在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，稱之為隨機事件，簡稱事件。第四章 抽樣分布與參數(shù)估計n 第一節(jié) 頻率、概率與概率分布n 第二節(jié) 抽樣分布n 第三節(jié) 總體參數(shù)估計n 第四節(jié) 抽樣設(shè)計1第一節(jié) 頻率、概率與概率分布n 一、隨機事件與概率n （一）隨機試驗與事件n 隨機現(xiàn)象的特點是：在條件不變的情況下，一系列的試驗或觀測會得到不同的結(jié)果，并且在試驗或觀測前不能預(yù)見何種結(jié)果將出現(xiàn)。對隨機現(xiàn)象的試驗或觀測稱為隨機試驗，它必須滿足以下的性質(zhì)：n （ 1）每次試驗的可能結(jié)果不是唯一的；n （ 2）每次試驗之前不能確定何種結(jié)果會出現(xiàn)；n （ 3）試驗可在相同條件下重復(fù)進行。試驗的結(jié)果可能是一個簡單事件，也可能是一個復(fù)雜事件。復(fù)雜事件是由簡單事件組合而成的事件。集合 Ω={ω1 ,ω2 , … ,ωn} 稱為樣本空間， Ω中的元素就是樣本點。這六種結(jié)果是基本結(jié)果，不可以再分解成更簡單的結(jié)果了，所以 Ω={1， 2， 3， 4， 5， 6}為該試驗的樣本空間。我們通常用大寫字母 A， B， C， … 來表示隨機事件，例如，設(shè) A表示 “出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù) ”，則 A={1， 3， 5}；設(shè) B表示“出現(xiàn)點數(shù)是偶數(shù) ”，則 B={2， 4， 6}。 進行 n次重復(fù)試驗，隨機事件 A發(fā)生的次數(shù)是 m次，發(fā)生的頻率是m/n，當(dāng)試驗的次數(shù) n很大時，如果頻率在某一數(shù)值p附近擺動，而且隨著試驗次數(shù) n的不斷增加，頻率的擺動幅度越來越小，則稱 p為事件 A發(fā)生的概率，記為： P(A)=p。(1) 從中隨機摸出 1只球，問剛好是白球的概率有多大？ (2) 從中隨機摸出 2只球，一問 2只球都是白球的概率有多大 ? 二問 2只球一白一黑的概率有多大 ? 三問 2只球都是黑球的概率有多大 ? n 解： (1) 由于摸出的任何 1只球都形成一個基本事件，所以樣本點總數(shù)為 n=5。因此，剛好摸出白球的概率為 P(A)=m/n=2/5=6n (2) 由于摸出 2只球才成一個基本事件，所以樣本點總數(shù)為 故n P(A)=P(2只球都是白球 )=1/ =1/10n P(B)=P(2只球一白一黑 )=23/10=6/10n P(C)=P(2只球都是黑球 )=3/10n NOTE: P(A+B+C)=17n 2. 概率的基本性質(zhì)n 性質(zhì) 1 1≥P(A)≥0。n 性質(zhì) 3 若事件 A與事件 B互不相容，即 AB=Ф，則 P(A∪ B)=P(A)+P(B)。n 推論 2 P( )=1P(A), 表示 A的對立事件，即它們二者必有一事件發(fā)生但又不能同時發(fā)生。連續(xù)進行，問第三次摸到黑球的概率是多少？ n 解 : 記 A為 “第三次摸到黑球 ”，則 為 “第三次摸到白球 ”。n 由于袋中只有 1只白球，如果某一次摸到了白球，換入了黑球，則袋中只有黑球了。注意這是一種有放回的摸球，樣本點總數(shù)為 53，有利場合數(shù)是 421。n 例：已知袋中有 6只紅球 , 4只白球。設(shè) 表示第 i次取到紅球。從題目條件看，這一結(jié)論是顯然的。這個函數(shù)還要求滿足條件：對任意的實數(shù) x，Xx是隨機事件。n 1. 離散型隨機變量的概率分布 n 設(shè)離散型隨機變量 X的所有可能取值為 x1, x2， …, xn, … ，相應(yīng)的概率為 p(x1)， p(x2),…,p(xn),… 。n 性質(zhì)： (1) 0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …) ；n (2) n 定義 : 離散型隨機變量 X的期望值為 n n 性質(zhì)：n 其中 X1， X2都是隨機變量， α， β是任意常數(shù)。n 方差 σ2或標(biāo)準(zhǔn)差 σ反映隨機變量 X相對其期望值的n 離散程度， σ2或 σ越小 , 說明期望值的代表性越好； σ2或 σ越大，說明期望值的代表性越差。像這樣只有
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