【正文】 料耗盡，結構質量拋棄完時，便只剩衛(wèi)星質量pm，從而最終速度的數學模型為 0( ) ( 1 ) lnpmv t um??? . （ 6. 12 ） （ 6. 12 ）式表明，當0m足夠大時，便可使衛(wèi)星達到我們所希望它具有的任意速度。 若jx為成本型屬性，則 m a x1/i j i j jb a a?? （ 14. 9 ） 采用上式進行屬性規(guī)范時，經過變換的最佳屬性值不一定為 1 ，最差屬性 值為 0 。設 m a xja是決策矩陣第 j 列中的最大值， m i nja是決策矩陣第 j 列中的最小值。 基礎部數學教研室 20/103 數學建模 常用的屬性規(guī)范化方法有以下幾種。 基礎部數學教研室 19/103 數學建模 （ 3 ） 歸一 化，屬性值表中不同指標的屬性值的數值大小差別很大，為了直觀，更為了便于采用各種多屬性決策與評估方法進行評價，需要把屬性值表中的數值歸一化，即把表中數值均變換到 [0 ， 1] 區(qū)間上。即使對同一屬性，采用不同的計量單位，表中的數值也就不同。 基礎部數學教研室 17/103 數學建模 在進行決策時，一般要進行屬性值的規(guī)范化，主要有如下三個作用： （ 1 ） 屬性值有多種類型，上述三種屬性放在同一個表中不便于直接從數值大小判斷方案的優(yōu)劣，因此需要對數據進行預處理，使得表中任一屬性下性能越優(yōu)的方案變換后的屬性值越大。 屬性值具有多種類型，包括效益型、成本型和區(qū)間型等。為了取得經驗，先選 5 所研究生院，收集有關數據資料進行了試評估，表 是所給出的部分數據。 基礎部數學教研室 14/103 數學建模 例 14 .1 研究生院試評估。至于既用正理想解又用負理想解是因為在僅僅使用正理想解時有時會出現某兩個備選方案與正理想解的距離相同的情況，為了區(qū)分這兩個方案的優(yōu)劣，引入負理想解并計算這兩個方案與負理想解的距離，與正理想解的距離相同的方案離負理想解遠者為優(yōu)。 基礎部數學教研室 8/103 數學建模 用理想解法求解多屬性決策問題的概念簡單，只要在屬性空間定義適當的距離測度就能計算備選方案與理想解的距離。 方法和原理 基礎部數學教研室 7/103 數學建模 正理想解 *C 是一個方案集 D 中并不存在的虛擬的最佳方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最好值；而負理想解 0C 則是虛擬的最差方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最差值。這種方法通過構造評價問題的正理想解和負理想解，即各指標的最優(yōu)解和最劣解， 通過計算每個方案到理想方案的相對貼近度，即 靠近正理想解和遠離負理想解的程度，來對方案進行排序，從而選出最優(yōu)方案。 基礎部數學教研室 5/103 數學建模 目前已有許多解決多屬性決策的排序法，如理想點法、簡單線性加權法、加權平方和法、主成分分析法、功效系數法、可能滿意度法、交叉增援矩陣法等。另一類是客觀賦權，根據各指標間相關關系或各指標值變異程度來確定權數，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也稱T OPSIS 法）等?；A部數學教研室 第 14章 綜合評價與決策方法 數學建模算法與應用 基礎部數學教研室 3/103 數學建模 評價方法大體上可分為兩類，其主要區(qū)別在確定權重的方法上。一類是主觀賦權法，多數采取綜合咨詢評分確定權重，如綜合指數法、模糊綜合評判法、層次分析法、功效系數法等。 基礎部數學教研室 4/103 數學建模 目前國內外綜合評價方法有數十種之多，其中主要使用的評價方法有主成分分析法、因子分析、 T OPSIS 、秩和比法、灰色關聯法、熵權法、層次分析法、模糊評價法、物元分析法、聚類分析法、價值 工程法、神經網絡法等。本節(jié)介紹多屬性決策問題的理想解法，理想解法亦稱為T OPSIS 法，是一種有效的多指標評價方法。 理想解法 基礎部數學教研室 6/103 數學建模 設多屬性決策方案集為12{ , , , }mD d d d?，衡量方案優(yōu)劣的屬性 變 量為1,nxx，這時方案集 D 中的每個方案id（1 , ,im?）的 n 個屬性值構成的向量是1[ , , ]i inaa，它作為 n 維空間中的一個點，能唯一地表征方案id。在 n 維空間中，將方案集 D 中的各備選方案id與正理想解 *C 和負理想解 0C的距離進行比較，既靠近正理想解又遠離負理想解的方案就是方案集 D 中的最佳方案；并可以據此排定方案集D 中各備選方案的優(yōu)先序。 T OPSIS 法所用的是歐氏距離。 基礎部數學教研室 9/103 數學建模 T OPSIS 法的具體算法如下 （ 1 ） 用向量規(guī)劃化的方法求得規(guī)范決策矩陣 設多屬性決策問題的決策矩陣()ij m nAa??，規(guī)范化決策矩陣()i j m nBb??， 其中 21mij ij ijib a a?? ?，1 , 2 , ,im? ， 1 , 2 , ,jn? . （ 14 .1 ） TOPSIS法的算法步驟 基礎部數學教研室 10/103 數學建模 （ 2 ） 構成加權規(guī)范陣()i j m nCc?? 設由決策人給定各屬性的權重向量為12[ , , , ]Tnw w w w? ，則 i j j i jc w b??， 1 , 2 , ,im? ，1 , 2 , ,jn?. （ 14 .2 ） 基礎部數學教研室 11/103 數學建模 （ 3 ） 確定正理想解 *C 和負理想解 0C 設正理想解 *C 的第j個屬性 值為 *jc，負理想解 0C 第j個屬性值為 0jc，則 正理想解 *m ax , ,m i n , ,ijijijicjccj??????為 效 益 型 屬 性為 成 本 型 屬 性1 , 2 , ,jn?. （ 14 .3 ） 負理想解 0m i n , ,m ax , ,ijijijicjccj??????為 效 益 型 屬 性為 成 本 型 屬 性1 , 2 , ,jn?. （ 1 4 .4 ） 基礎部數學教研室 12/103 數學建模 （ 4 ） 計算各方案到正理想解與負理想解的距離 備選方案id到正理想解的距離為 * * 21()ni ij jjs c c????， 1 , 2 , ,im? . （ 1 4 .5 ） 備選方案id到負理想解的距離為 0 0 21()ni ij jjs c c????， 1 , 2 , ,im? . （ 1 4 .6 ） 基礎部數學教研室 13/103 數學建模 （ 5 ） 計算各方案的排隊指標值（即綜合評價指數） * 0 0 */ ( )i i i if s s s??，1 , 2 , ,im?. （ 1 4 .7 ） （ 6 ） 按 *if由大到小排列方案的優(yōu)劣次序。 為了客觀地評價我國研究生教育的實際 狀況和各研究生院的教學質量，國務院學位委員會辦公室組織過一次研究生院的評估。 示例 基礎部數學教研室 15/103 數學建模 表 14 .1 研究生院試評估的部分數據 j i 人均專著1x （本 / 人） 生師比2x 科研經費3x （萬元 / 年） 逾期畢業(yè)率4x（ % ） 1 5 5000 2 6 6000 3 7 7000 4 10 10 000 5 2 400 基礎部數學教研室 16/103 數學建模 解 第一步，數據預處理 數據的預處理又稱屬性值的規(guī)范化。這三種屬性，效益型屬性越大越好，成本型屬性越小越好，區(qū)間型屬性是在某個區(qū)間最 佳。 基礎部數學教研室 18/103 數學建模 （ 2 ） 非量綱化，多屬性決策與評估的困難之一是屬性間的不可公度性，即在屬性值表中的每一列數具有不同的單位（量綱）。在用各種多屬性決策方法進行分析評價時，需要排除量綱的選用對決策或評估結果的影響，這就是非量綱化。 此外，還可在屬性規(guī)范時用非線形變換或其它辦法，來解決或部分解決某些目標的達到程度與屬性值之間的非線性關系，以及目標間的不完全補償性。 （ 1 ） 線性變換 原始的決策矩陣為()ij m nAa??，變換后的決策矩陣記為()i j m nBb??， 1 , ,im? ， 1 , ,jn? 。若jx為效益型屬性，則 m a x/i j i j jb a a?. （ 14. 8 ） 基礎部數學教研室 21/103 數學建模 采用上式進行屬性規(guī)范化時，經過變換的最差屬性值不一定為 0 ，最佳屬性值為 1 。 基礎部數學教研室 22/103 數學建模 （ 2 ）標準 0 － 1 變換 為了使每個屬性變換后的最優(yōu)值為 1 且最差值為0 ，可以進行標準 0 － 1 變換。例如，考慮到空氣阻力和重力等 因素，估計要使 1 0 . 5v ? k m/s 才行，如果取3u ? k m/s ， 0 . 1? ? ，則可推出0/ 5 0pmm ?，即發(fā)射 1噸重的衛(wèi)星大約需 50 噸重的理想火箭。顯然這種屬性不能采用前面介紹的兩種方法處理。ja為無法容忍下限， ja為無法容忍上限，則 0 0 39。 00** * * 1 ( ) / ( ) , ,1 , ,1 ( ) / ( ) , ,0, .j ij j j j ij jj ij jijij j j j j ij ja a a a a a aa a aba a a a a a a?? ? ? ? ???????? ? ? ? ????若若若其 它 （ 14. 12 ） 變換后的屬性值ijb與原屬性值ija之間的函數圖形為一般梯形。 基礎部數學教研室 26/103 數學建模 設研究生院的生師比最佳區(qū)間為[5 , 6 ]， 39。表 14 .1 的屬性 2 的數據處理見表 ( 程序略 ) 。它的最大特點是，規(guī)范化后，各方案的同一屬性值的平方和為 1 ，因此常用于計算各方案與某種虛擬 方案（如理想點或負理想點）的歐氏距離的場合。為了消除變量的量綱效應，使每個變量都具有同等的表現力，數據分析中常對數據進行標準化處理，即 ij jijjaabs??， 1 , 2 , ,im? ，1 , 2 , ,jn?， （ 1 4. 14 ） 其中11mj ijiaam???，211()1mj ij jis a xm?????，1 , 2 , ,jn?。 表 14. 3 表 1 數據經標準化的屬性值表 j i 人均專著1x 生師比2x 科研經費3x 逾期畢業(yè)率