【正文】 .集上的是“青年人”在 FUA ,270 歲選取 ?u .0 的隸屬度對(duì)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)確定用 AuF選擇若干 （ n） 合適人選 ， 請(qǐng)他們寫(xiě)出各自認(rèn)為 “ 青年人 ” 最適宜 、 最恰當(dāng)?shù)哪晗?， 即將模糊概念 明確化 。先排序，再用數(shù)學(xué)方法加工得到隸屬函數(shù)。 模糊理論的基本概念 隸屬函數(shù)確定方法 （ 3）借用已有的“客觀”尺度 在經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)科學(xué)中，可以直接借用已有的尺度（經(jīng)濟(jì)指標(biāo)）作為模糊集的隸屬度。 若模糊集定義在實(shí)數(shù)集上 ， 則模糊集的隸屬函數(shù)便被稱(chēng)為模糊分布 。與和即 )()( uAuA c 模糊理論的基本概念 隸屬函數(shù)確定方法 （ 1）模糊統(tǒng)計(jì)方法 模糊統(tǒng)計(jì)方法中 ， 進(jìn)行模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn) ， 確定某個(gè)元素的隸屬度 。集上的一個(gè)模糊度，稱(chēng)為為稱(chēng)映射 AFUFd )(定義 1給出了關(guān)于模糊度的 4條公理。3)(,20,33xxAxxx??????????時(shí)即當(dāng)。)( 2 ?所以類(lèi)似可得 ,)(,)(,1)( 543 ??? uAuAuA 可表示為集于是 AF 54321uuuuuA ?????? ? ? ?0 , 5 , ( ) , 0 , 1 ,U A F U ?? ? ? ?例 設(shè) 論 域 且? ?? ?? ????????????????1325,33205,305,0?????A.),( UxxA ?求解 ? ?；按推論 ?? AxxA ?? max)( 。集試求出 AF解 由于 ,1 值為最大的中的一切含有元素 ??Au。1 2121 AA ???? ?? 則若性質(zhì) .2 BABA ?? ?? 則若性質(zhì) 模糊理論的基本概念 截集與分解定理 定理 711（ 分解定理 ） 分解定理表明 ， 模糊集可由經(jīng)典集合表示 ， 這反映了模糊集和經(jīng)典集合的密切關(guān)系 ， 建立了模糊集與經(jīng)典集合的轉(zhuǎn)化關(guān)系 。 ? ?A F U? ? ?0 , 1 , ( )A F U? ??[0,1]???? ? ? ?? ? .A A x A x?? ?? ? ?A? ?? ()A F U? ?? ? ? ?A x A x????A??A 是一個(gè)普通集。因此，當(dāng) ,??},{ xxxxxA ? },{ xx? 定義如下：一般情況下，給出?A 模糊理論的基本概念 定義 設(shè) ， ，記 稱(chēng) 為 的 截集，其中 稱(chēng)為閾值或置信水平。 設(shè) F集 A表示 “ 優(yōu)勝者 ” ，有 ???????654321xxxxxxA 10987xxx ???擇優(yōu)錄取實(shí)際上就是將 F集轉(zhuǎn)化為普通集。 因此 ， 需要把 F集和普通集聯(lián)系起來(lái) 。即 F集的邊界是模糊的 。?? 截集與分解定理 F集是由隸屬函數(shù)確定的 。A B x A x B x x U? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?m in{ A ( u) , B ( u) } , 。因此， )),(( ?UF ,)( 上的二元關(guān)系”是“ UF?具有如下性質(zhì)： 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集合的運(yùn)算 定義 設(shè) ，定義 并 的隸屬函數(shù)為 交 的隸屬函數(shù)為 余 的隸屬函數(shù)為 上述運(yùn)算中的扎德算子 是對(duì)隸屬度進(jìn)行取大和取小運(yùn)算。),( AAUFA ??? 。 “ 分母 ” 是論域 U的元素 “ 分子 ” 是相應(yīng)元素的隸屬度 當(dāng)隸屬度為 0時(shí) ， 該項(xiàng)可以不寫(xiě)入 注意 模糊集合的表示法 1 模糊集合表示方法 1——Example. 論域 = { Bill, John, Einstein, Mike, Tom } smart程度： ， ， ， ， 則論域中元素對(duì)“ smart”這模糊概念的符合程度可以用模糊子集 A來(lái)表示 A = + + + + 模糊集合的表示法 3 ? 序偶表示法 A＝ {(x1 ,μ1),(x2 ,μ2),…,( xn ,μn)} A = {(Bill, ), (John, ), (Einstein, ), (Mike, ), (Tom, )} ? 向量表示法 A＝ {μ1, μ2 , … , μn } A = {,} 例 { 1 2 3 4 5 6 } : 4 , ( )U A A F U??設(shè) ， ， ， ， ， ， “ 靠 近 ” 可由下表給出的程度中各數(shù)屬于 )( iuAAUiu )( iuA654321 向量法： 序偶法： Zadeh法： 65413210 ??????A658.4132 ?????),1,0(?A )},6)(,5)(1,4)(,3)(,2{(?A例 設(shè)論域?yàn)閷?shí)數(shù)域 R， A: “靠近 4的數(shù)集 ” 其隸屬函數(shù)是),( RFA ??????????? ????404)( 2)4(xxexA xk例 設(shè)論域?yàn)閷?shí)數(shù)域 R， A: “比 4大得多的數(shù)集 ” 其隸屬函數(shù)是),( RFA ??????????? 4)4(1001140)(2xxxxA 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集合的運(yùn)算 定義 設(shè) ，定義 B包含 A A與 B相等 A ? ? ? ? ,。 即由集合 U的所有子集組成的集合 )30(291)( iuA i ??同理 ， “ 短線段 ” 的隸屬函數(shù)為 )1(291)( ?? iuB i 所以 ， “ 長(zhǎng)線段 ” 的隸屬函數(shù)為 012i 30291( , ( ))ii A u )( iuBU30101300)(?????iuA i(1,1) (30,0) 例 2中， 年輕。對(duì)的成員資格即為作為 AuAu ii 的線性函數(shù)。 例 1中， ( 1 , 2 , 30) ,iu i i ?設(shè) 表 示 第 條 線 段 則 表示“長(zhǎng)線段”。 隸屬度與隸屬函數(shù)的思想是模糊數(shù)學(xué)的基本思想。 模糊集記為“ F集”。 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 定義 設(shè) 是論域（全集），稱(chēng)映射 確定了 上的模糊子集 。 “ 長(zhǎng) ” “ 短 ”“ 年輕 ” “年老 ” 這些模糊概念無(wú)法用特征函數(shù)來(lái)刻畫(huà) 。 從 “ 長(zhǎng) ” 到 “ 短 ” ， 從 “ 年輕 ” 到 “ 年老 ” 。 例 2 在標(biāo)志年齡 (0? 100)的數(shù)軸上 ,標(biāo)出 “ 年老 ” 、“ 年輕 ” 的區(qū)間 。 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 經(jīng)典集合 A由其特征函數(shù) 唯一確定，其中 A由映射 因此，只能表達(dá)“非此即彼”的清晰概念（現(xiàn)象） 不能表達(dá)“亦此亦彼”的模糊概念（現(xiàn)象） A ()A x?1,: { 0 , 1 } , x | ( )1,AAxAXxxA????? ? ?? ??123456789102030例 1 從圖的 30條線段中 ， 選出 “ 長(zhǎng) 的線段 ” 從左起 ， 第 1條是屬于 “ 長(zhǎng)線段 ” ， 第 2， 3…條越靠右的線段作為 “ 長(zhǎng)線段 ” 的資格就越降低 ， 第 30條線段根本不能作為 “ 長(zhǎng)線段 ” 的成員 ?！币虼?，必須尋找到一套研究和處理模糊性的數(shù)學(xué)方法。 “當(dāng)系統(tǒng)的復(fù)雜性日趨增長(zhǎng)時(shí)，我們做出系統(tǒng)特性的精確然而有意義的描述的能力將相應(yīng)降低，直至達(dá)到這樣一個(gè)閾值，一旦超過(guò)它，精確性和有意義性將變成兩個(gè)幾乎互相排斥的特性。他于 1965年發(fā)表了題為 《 模糊集合論 》 （ 《 Fuzzy Sets》 ）的論文，從而宣告模糊數(shù)學(xué)的誕生。 決策問(wèn)題在很多情況下具有模糊性，因此應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行決策研究有其必然性。 9 模糊數(shù)學(xué)的概念 ? 處理現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)學(xué)模型 ?確定性數(shù)學(xué)模型 :確定性或固定性 ,對(duì)象間有必然聯(lián)系 . ?隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型 :對(duì)象具有或然性或隨機(jī)性 ?模糊性數(shù)學(xué)模型 :對(duì)象及其關(guān)系均具有模糊性 . ? 隨機(jī)性與模糊性的區(qū)別 ?隨機(jī)性 :指事件出現(xiàn)某種結(jié)果的機(jī)會(huì) . ?模糊性 :指存在于現(xiàn)實(shí)中的不分明現(xiàn)象 . ? 模糊數(shù)學(xué) :研究模糊現(xiàn)象的定量處理方法 . 7 模糊決策方法 模糊數(shù)學(xué)把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從精確現(xiàn)象領(lǐng)域擴(kuò)大到模糊現(xiàn)象領(lǐng)域，四十多年來(lái)，模糊數(shù)學(xué)理論發(fā)展迅速，應(yīng)用廣泛。 沒(méi)有必要獲取精確數(shù)據(jù) 模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅形成了一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科 ， 而且也形成了一種嶄新的思維方法 ， 它告訴我們存在亦真亦假的命題 ， 從而打破了以二值邏輯為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)思維 ， 使得模糊推理成為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法 。 人工智能的要求 167。 術(shù)語(yǔ)來(lái)源 Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的 模糊，不分明 模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象 模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象。 模糊概念 模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間 無(wú)明顯分界線 年輕 、 重 、 熱 、 美 、 厚 、 薄 、 快 、 慢 、 大 、 小 、高 、 低 、 長(zhǎng) 、 短 、 貴 、 賤 、 強(qiáng) 、 弱 、 軟 、 硬 、陰天 、 多云 、 暴雨 天氣冷熱 雨的大小 風(fēng)的強(qiáng)弱 人的胖瘦 年齡大小 個(gè)子高低 7 共同特點(diǎn)：模糊概念的外延不清楚。決策理論與方法 （ Decision Making Theory and Methods） 《 決策理論與方法 》 編寫(xiě)組 教育部高等學(xué)校管理科學(xué)與工程類(lèi)學(xué)科專(zhuān)業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)推薦教材 第七章 模糊決策方法 學(xué)習(xí)目的 ? 了解模糊集、隸屬函數(shù)、模糊矩陣的概念； ? 掌握模糊意見(jiàn)集中決策、模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策、模糊相似優(yōu)先比決策、模糊相對(duì)比決策、模糊綜合評(píng)判決策及層次分析法等決策方法。 本講內(nèi)容 模糊集與隸屬函數(shù) 截集與分解定理 隸屬函數(shù)的確定方法 模糊矩陣 5 前言：什么是模糊數(shù)學(xué) 禿子悖論 : 天下所有的人都是禿子 設(shè)頭發(fā)根數(shù) n n=1 顯然 若 n=k 為禿子 n=k+1 亦為禿子 167。 167。 8 167。 取得精確數(shù)據(jù)不可能或很困難 167。 隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展 ， 模糊理論和模糊技術(shù)將對(duì)于人類(lèi)社會(huì)的進(jìn)步發(fā)揮更大的作用 。模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際上的應(yīng)用幾乎涉及到國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域，尤其在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)科學(xué)方面得到了廣泛而又成功的應(yīng)用。 模糊理論的基本概念 模糊數(shù)學(xué)由美國(guó)控制論專(zhuān)家 （ , 1921）教授所創(chuàng)立。 “計(jì)算機(jī)”與“大系統(tǒng)”的矛盾研究，集中思考了計(jì)算機(jī)為什么不能像人腦那樣進(jìn)行靈活的思維與判斷問(wèn)題?！? “常規(guī)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用對(duì)于本質(zhì)上是模糊系統(tǒng)的分析來(lái)說(shuō)是不協(xié)調(diào)的，它將引起理論和實(shí)際之間的很大差距。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史必然性。 應(yīng)屬于 “ 短線段 ” 。 這里需要考慮 …40歲 ， …50歲 ， …60歲 ,… 屬于 “ 年輕 ” 還是 “ 年老 ” 。 經(jīng)歷了一 個(gè) 從 量 變 到 質(zhì) 變 的 連 續(xù) 過(guò) 渡 過(guò) 程 。 Zadeh把特征函數(shù)的值域由 {0,1}擴(kuò)張到 [0， 1]， 引入了隸屬函數(shù) ， 定義的模糊集合 ， 使模糊概念的數(shù)學(xué)表達(dá)成為可能 。映射 稱(chēng)為 的隸屬函數(shù) （或稱(chēng)為 u對(duì) A的隸屬度）。 對(duì)于某 F集 A，若 僅取 0和 1兩個(gè)數(shù)時(shí)， A就退化為普通集合。 UU A()AuA A()Au ,0)( ?為空集Au ?? .1)( UAuA 為全集?)(uAUo1 U模 糊 冪 集 ： 論 域 上 模 糊 集 全 體 ]}1,0[:|{)( ?? UAAUF普通集是模糊集的特例，模糊集是普通集的推廣。集論域 AFuuuU },{ 3021 ??因線段長(zhǎng)度 的隸屬度。是線段條數(shù)所以 iuA i )(按線性遞減， 直線方程為：選 ,0)(,1)( 301