麥克斯韋速率分布-展示頁
2024-08-31 00:48本頁面
【正文】 vp： mkTv p 2?mMRT2?（四）三種速率之比： ::1:: ?rmsp vvv o pv 2vv)(vfv22 )2e x p ()2(4)( 23 vkTmvkTmvf ?? ??（一）平均速率 ： v1. 前面討論理想氣體 ? 和 P 時(shí)曾用到 vrms ? v ?vv r m s但應(yīng)用該近似后，數(shù)學(xué)處理簡單得多 誤差 % 2. 三種速率各有用處： vp 討論速率分布時(shí)用到 vrms 討論分子平均平動動能時(shí)用到 v 討論分子平均自由程、 ? 時(shí) 用到 注意 3. 若所給速率分布不是麥克斯韋速率分布，則 不一定成立r msp vvv ??但由前面 知， ? ?22 uu ? 總成立vv r m s ?例 1．速率分布函數(shù) 的物理意義為： （Ａ）具有速率 v 的分子占總分子數(shù)的百分比． （Ｂ）速率分布在 v 附近的單位速率間隔中的 分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比． （Ｃ）具有速率 v 的分子數(shù)． （Ｄ）速率分布在 v 附近的單位速率間隔中 的分子數(shù)． 解： （ Ｂ ） ? ?vf 若用 N表示一定量氣體的總分子數(shù)， dN表示速率分布在 v ~ v+dv區(qū)間的分子數(shù)，則 f(v)可以寫成： vNNvfdd)( ?例 2： 下列各式的物理意義分別為 : (1) (2) (3) (4) 速率在 v 附近 dv 間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 但組成混合氣體的各組分分別遵守各自的麥?zhǔn)戏植悸剩? 1212111111 1 d)2e x p ()2(4d)(d 23 vvkTvmkTmvvfNN ?????2222222222 2 d)2e x p ()2(4d)(d 23 vvkTvmkTmvvfNN ???????注意 混合氣中各組分的麥?zhǔn)戏植悸什灰粯?，但有一點(diǎn)一定相同： 混合氣達(dá)到平衡后，各組分的溫度 T必然相同。 5. 公式可以采用量綱來幫助記憶。 同時(shí)，其高度必然降低 2pv)( 2112 mmTT ??⑵ mv p 1? 同樣溫度下，重的分子運(yùn)動得慢， 因而重的分子中速率小的分子所占比重大 分子質(zhì)量增加時(shí)分布曲線的極大值向速率小的區(qū)域移動； 同時(shí)，其高度必然升高 ⑶ 最可幾速率僅決定于所考察氣體的種類和氣體分子熱運(yùn)動的 劇烈程度 )( 2121 TTmm ??4. 麥克斯韋速率分布本身是統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果， 因而理論上必須使之應(yīng)用于大數(shù)粒子 。 3. 稱概率密度取極大值時(shí)的速率為 最概然速率 vp， 也稱 最可幾速率 pv0d )(d ?pvvvfmkTv p 2?mMRT2?意義： 若把整個(gè)可能的速率范圍分為許多等間隔的小區(qū)間， 則在最可幾速率 vp所在區(qū)間中分子數(shù)所占比率最大。 因而麥?zhǔn)戏植歼m用于平衡態(tài)氣體。 麥克斯韋速率分布 早在 1859年 ， 英國物理學(xué)家麥克斯韋由概率論、統(tǒng)計(jì)力學(xué)確定了氣體按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即麥克斯韋速率分布，有 3種表述方法： ⑴ 具有 N個(gè)分子的氣體處于平衡態(tài) (P,V,T)時(shí)，以容器為參考系的速率分布函數(shù)為： 22 )2e x p ()2(4)(23vkTmvkTmvf ?? ??⑵ N個(gè)分子的氣體處于平衡態(tài)時(shí)，以容器為參考系，速率在 v ~ v+dv間的平均分子數(shù)等于： vvkTmvkTmNvvNfN d)2e x p ()2(4d)(d 2223??? ??⑶ N個(gè)分子的氣體處于平衡態(tài)，以容器為參考系速率在 v ~ v+dv間的分子占總分子數(shù) N的百分比（概率） vvkTmvkTmvvfNN d)2e x p ()2(4d)(d 2223??? ??麥克斯韋速率分布 概率密度 概率 即分子處于速率 v 附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率 1. 麥?zhǔn)纤俾史植迹? 但速率很大或很小的分子數(shù)較少 2. 麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)曲線： ⑴ ),0( ??v⑵ 曲線下的細(xì)窄條面積 vvf d)(? NNd?表示了分子出現(xiàn)在 v ~ v+dv 區(qū)間段的概率 ⑶ 曲線下 v1 ~ v2 區(qū)間的陰影面積為： ?? ?? 21 2321d)2e x p ()2(4d)( 22vvvv vvkTmvkTmvvf??表示分子速率處于 v1 ~ v2 區(qū)間的概率 ⑷ 對全部分子可出現(xiàn)的速率求和，即 f(v)曲線下總面積： 1d)(0 ??? vvf 說明麥?zhǔn)纤俾史植际且?guī)一化的 二、幾點(diǎn)說明： 1. ),0( ??v ,實(shí)際上任何物體的運(yùn)動速率都不會超出真空中的光速 麥?zhǔn)戏植贾腥?0~∞可以簡化計(jì)算。分子速率介于相應(yīng)速率區(qū)間的概率 ?N/N NNS Δ?當(dāng) ?v→ 0 時(shí)，得到一條光滑曲線，稱 分子束 速率分布曲線 vvF ~)( 當(dāng) ?v→ 0 時(shí)，得到一條光滑曲線，稱 分子束 速率分布曲線 vvF ~)(vNNvF dd)( ?vv vv d?其中在速率區(qū)間 v ~ v+dv的細(xì)條面積， vvN NS dddd ??表示分子速率介于速率區(qū)間 v ~ v+dv的概率 vvvP dd ???4. 說明：
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