[第三章]賦范線性空間-展示頁
2025-07-30 18:20本頁面
【正文】 數(shù)乘： , , ,x E k E x? ? ? ?? ? ? ? ?存 在 唯 一 記 作 且滿足八條運(yùn)算規(guī)律： （ 1 ）x y y x? ? ? （ 2 ） ( ) ( )x y z x y z? ? ? ? ? （ 3 ）0 , 0? ? ? ?E x x“ 零 元 素 ” 有 （ 4 ）, ( ) 0? ? ? ? ? ?x E x x“ 負(fù) 元 素 ” 有 （ 5 ） ( ) ( )xx? ? ? ?? （ 6 ） 1 , 0 0x x x? ? ? ? （ 7 ） () x x x? ? ? ?? ? ? （ 8 ）() x y x y? ? ?? ? ? 則稱 E 是（數(shù)域 K 上的）線性空間（或向量空間）。 [ , ]Cab[ , ] ( 1)pL a b P ?( 1)plP?， ， 167。點(diǎn)列的極限是微積分中數(shù)列極限在抽象空間中的推廣，然而它 是 只有 距 離 結(jié)構(gòu) 、 沒有 代數(shù)結(jié)構(gòu)（代數(shù)運(yùn)算）的空間，在應(yīng)用時(shí)受到許多限制 。 按范數(shù) 收斂 167。第 3章 賦范線性空間 167。 定義和舉例 167。 有限維賦范線性空間 在第 2 章，我們通過距離的概念引入了點(diǎn)列的極限。 本章和下章介紹的賦范線性空間及內(nèi)積空間就是距離結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合的產(chǎn)物，它比距離空間有明顯的優(yōu)勢(shì)。 定義和舉例 1 ） 定義（線性空間） 設(shè) E 是非空集合， K 是實(shí) （ 或 復(fù) ）數(shù)域。滿足八條運(yùn)算規(guī)律的兩種運(yùn)算稱為線性運(yùn)算。 例 2 [ , ]C a b 、 [ , ]L a b （ 在 [ , ]ab 上可積分函數(shù)全體 ） ，在通常意義下的“加法”“數(shù)乘”運(yùn)算下是線性空間。 例 4 ()nQx —— 次數(shù)等于 n 的多項(xiàng)式全體，在通常意義 下的“加法”“數(shù)乘”運(yùn)算下 不是線性空間 。若0? ? ???? ? ?x E x按 一 定規(guī) 則實(shí) 數(shù)， 且 滿足下列三條
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