【正文】 （32）所以上式中位移的表達(dá)式實(shí)際上表示了利用一個(gè)雙線性單元模擬純彎曲應(yīng)力狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)的誤差。 現(xiàn)在討論二維雙線性單元在表示純彎應(yīng)力狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)的問題（剪力自鎖問題）。因?yàn)樵谌S單元中，一次完全多項(xiàng)式是4項(xiàng)：1；二次完全多項(xiàng)式是10項(xiàng)：、而三維六面體線性單元和二次單元卻分別具有8個(gè)和20個(gè)節(jié)點(diǎn)，也即三維等參元中有1/2的節(jié)點(diǎn)自由度對(duì)計(jì)算精度是無貢獻(xiàn)的。所以從這個(gè)意義上來講，等參元的精度在給定自由度的條件下是不夠理想的。從這個(gè)意義上說，二維四邊形等參元中有1/4的節(jié)點(diǎn)自由度是不必要的。這些插值函數(shù)中所包含的完全多項(xiàng)式分別只是一次的和二次的，它們所要求的自由度分別是3和6，即只需要單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)是3和6。但是從嚴(yán)格的意義上說，它的精度和效率仍是不夠高的。 線性等參單元和非協(xié)調(diào)元 全積分、減縮積分線性等參單元和非協(xié)調(diào)元有關(guān)問題的分析討論（計(jì)算精度、剪力自鎖、零能模式與總剛的奇異性等）。（4）線性減縮積分單元對(duì)位移的求解結(jié)果較精確，在彎曲載荷下不容易發(fā)生剪切自鎖，網(wǎng)格的扭曲變形對(duì)其分析精度影響不大，但這種單元需要?jiǎng)澐州^細(xì)的網(wǎng)格來克服沙漏問題，且不適于求解應(yīng)力集中部位的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。（2）線性完全積分單元在承受彎曲載荷時(shí)會(huì)出現(xiàn)剪切自鎖，造成單元過于剛硬，即使劃分很細(xì)的網(wǎng)格，計(jì)算精度仍然很差。 全積分、減縮積分單元討論和評(píng)價(jià)（1）每種單元都有其優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，有其特定的適用場(chǎng)合。它的存在將使解答失真，甚至求解無法進(jìn)行，因此在實(shí)際分析中，必須防止零能模式的出現(xiàn)。因?yàn)椴捎镁_積分方案計(jì)算矩陣時(shí)，不僅矩陣非奇異的必要條件而且它的充分條件都是恒被滿足的。上式表明：假如未知場(chǎng)變量的元素?cái)?shù)目超過全部積分點(diǎn)能提供的獨(dú)立關(guān)系數(shù)，則矩陣必然是奇異的。根據(jù)矩陣的秩的基本規(guī)則，可以得到結(jié)論：秩，其中是高斯積分點(diǎn)總數(shù)。應(yīng)變矩陣是矩陣，是單元的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)?，F(xiàn)在來考察單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算公式：其中，彈性矩陣是方陣，秩，是應(yīng)變分量數(shù)(或獨(dú)立關(guān)系數(shù))。系數(shù)矩陣非奇異的條件，或稱是滿秩的。這種高斯積分階數(shù)低于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要階數(shù)的積分方案稱之為減縮積分。一般說，即仍按來確定積分方案。由完全多項(xiàng)式所產(chǎn)生的剛度矩陣中被積函數(shù)在方向和方向的最高方次，在常數(shù)條件下為，即對(duì)上述兩種單元分別為0和2。但是在很多情況下，實(shí)際選取的高斯積分點(diǎn)數(shù)低于精確積分的要求。這種高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要階數(shù)的積分方案，稱之為精確積分或完全積分。對(duì)于二維8節(jié)點(diǎn)單元也可作類似的分析。出于被積函數(shù)在和方向的最高方次為2，所以要達(dá)到精確積分，應(yīng)采用22階高斯積分。對(duì)于二維、三維單元，則需要對(duì)被積函數(shù)作進(jìn)—步的分析。為保證原積分的精度，應(yīng)選擇高斯積分的階次，這時(shí)可以精確積分至次多項(xiàng)式，可以達(dá)到精確積分剛度矩陣的要求。（1）選擇積分階次的原則首先保證積分的精度。 等參單元積分階次的選擇當(dāng)在計(jì)算中必須進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)，如何選擇數(shù)值積分的階次將直接影響計(jì)算的精度和計(jì)算工作量。同理可得三維高斯求積公式為 其中為高斯求積節(jié)點(diǎn)，而為相應(yīng)求積系數(shù)。 二維和三維高斯求和公式因 上式括號(hào)內(nèi)積分中的為參數(shù)，故有一位高斯求積公式有代入式（）后再次應(yīng)用一維高斯求積公式即得二維高斯公式 其中為高斯求積節(jié)點(diǎn)，而為相應(yīng)求積系數(shù)。 計(jì)算單元特性矩陣一般采用高斯數(shù)值積分。正因?yàn)槭谴味囗?xiàng)式，因此n個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分可達(dá)階的精度。應(yīng)該指出他們雖然它們形式上相同，但實(shí)質(zhì)上是有區(qū)別的，區(qū)別在于：① 在高斯積分中不是次多項(xiàng)式，而是包含（i=1,2,…n）和（i=0,1,2,…n1）共個(gè)系數(shù)的次多項(xiàng)式。由此可見n個(gè)積分點(diǎn)的位置是在求積域內(nèi)與正交的n次多項(xiàng)式構(gòu)成方程的解。（2）高斯積分：在此積分方案中，積分點(diǎn)不是等間距分布。由于個(gè)積分點(diǎn)的NewtonCotes積分構(gòu)造的近似函數(shù)是次多項(xiàng)式，因此個(gè)積分點(diǎn)的NewtonCotes積分可達(dá)到階的精度，即如果原被積函數(shù)是次多項(xiàng)式，則積分結(jié)果將是精確的。NewtonCotes積分中積分點(diǎn)的位置按等間距分布，即 （=0,1,2,…） （8）其中是積分點(diǎn)間距。 （2） 其中是階Lagrange插值函數(shù)，即有 （3）由于Lagrange插值函數(shù)有以下性質(zhì): （4）所以有（3）的插值函數(shù)是次多項(xiàng)式，因此近似函數(shù)也是次多項(xiàng)式，積分 （5）令 （6）則（3）可以寫作 （7）式中稱為積分的權(quán)函數(shù)，可由（6）確定。（1）NewtonCotes積分此種積分包括積分域端點(diǎn)在內(nèi)的積分點(diǎn)按等間距分布。首先構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式 上有，然后用近似函數(shù)的積分來近似原被積函數(shù)的積分，稱為積分點(diǎn)或取樣點(diǎn)。 一維數(shù)值積分設(shè)有積分式。 對(duì)等參單元數(shù)值積分原理的討論：在等參單元推求載荷向量或剛度矩陣是，需要進(jìn)行如下形式的積分：其中被積分函數(shù)一般比較復(fù)雜，有的可以積分出結(jié)果，但式子很繁；有的甚至的不到它的顯式。 等參單元的數(shù)值積分方法等參單元?jiǎng)偠染仃嚨臄?shù)值積分方法及確定積分階的原理。等參單元的優(yōu)點(diǎn)如下：等參單元形狀、方位任意，容易構(gòu)造高階單元，適應(yīng)性好，精度高。對(duì)此，可以用等參單元來解決。由于該幾何變換式中采用了與位移模式相同的插值函數(shù)，因此稱為等參變換。為了得到上述映射的數(shù)學(xué)表達(dá)，引入對(duì)母單元節(jié)點(diǎn)上x,y,z坐標(biāo)進(jìn)行插值的思想，將母單元上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x,y,z坐標(biāo)看成是對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的插值，插值函數(shù)與位移插值中的形函數(shù)相同：這樣就得到了一個(gè)事實(shí)上的映射，n是節(jié)點(diǎn)總數(shù)，節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，單元精度越高，是形狀函數(shù)。采用相同的插值函數(shù)對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移在單元上進(jìn)行插值，這種單元稱為等參單元。為了解決上述矛盾，可以使其成為任意四邊形和任意六面體單元，顯然，由于它已經(jīng)不再是規(guī)則的四邊形和六面體，所以它們的單元位移模式和形函數(shù)也不同于規(guī)則的四邊形和六面體的形函數(shù)。平面三角形單元、平面四面體單元、三維六面體單元這些單元受到兩個(gè)方面的約束：其一是單元精度的約束，節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，精度越高。機(jī)械工程學(xué)院研究生研究型課程考試答卷課程名稱： 有限元方法理論及應(yīng)用 考試形式：□專題研究報(bào)告 □論文 □大作業(yè) □√綜合考試學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 學(xué)生聯(lián)系方式： 導(dǎo)師： 序 號(hào)分 項(xiàng) 類 別分值1理論知識(shí)探討運(yùn)用寫作2理論分析與計(jì)算3上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告4總 分分1 等參單元及其應(yīng)用 3 概述等參單元的原理及其對(duì)有限元法工程應(yīng)用的意義。 3 等參單元的數(shù)值積分方法 4 線性等參單元和非協(xié)調(diào)元 10 等參單元的應(yīng)用 132 分析與計(jì)算 15 計(jì)算題一 15 計(jì)算題二 16 計(jì)算題三 18 計(jì)算題四 223 上機(jī)實(shí)驗(yàn) 28 第一題 28 實(shí)驗(yàn)題目 28 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?29 建模概述 29 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論 30 實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié) 50 50 50 51 建模概述 51 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論 53 實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié) 55 55 55 55 55 56 591 等參單元及其應(yīng)用 概述等參單元的原理及其對(duì)有限元法工程應(yīng)用的意義。其二是工程中的問題往往是復(fù)雜的幾何體，規(guī)則的六面體和四面體不能準(zhǔn)確地描述，且上述單元都是直線邊界，處理曲邊界幾何誤差大。為此必須引入所謂的等參變換。等參單元的原理是通過等參變換，建立起局部（自然）坐標(biāo)中幾何形狀規(guī)則的單元與總體（笛卡爾）坐標(biāo)中幾何形狀扭曲的單元的一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系，以滿足對(duì)一般形狀求解域進(jìn)行離散化的需要。通過上式建立起兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換，從而將自然坐標(biāo)內(nèi)的形狀規(guī)則的單元變成為總體笛卡爾坐標(biāo)內(nèi)的形狀扭曲的單元，通常稱前者為母單元，后者為子單元。工程中一些結(jié)構(gòu)的形狀有的是比較復(fù)雜的、不規(guī)則的，有的具有曲邊邊界，如果用一般單元分析些類結(jié)構(gòu)，需要?jiǎng)澐执罅康木W(wǎng)格，取更多的節(jié)點(diǎn)，這樣一來計(jì)算增大很多，而且處理曲邊邊界幾何體誤差也較大。等參單元具有曲面形狀，可以用較少的單元拼成復(fù)雜不規(guī)則的實(shí)際結(jié)構(gòu)，大大減少計(jì)算量，同時(shí)也提高了計(jì)算精度。等參單元列式具有統(tǒng)一的形式，規(guī)律性強(qiáng)，采用數(shù)值積分計(jì)算，程序處理方便。全積分、減縮積分單元討論和評(píng)價(jià)。因此，一般都用數(shù)值積分代替函數(shù)積分，即，在單元內(nèi)選出某些點(diǎn)，稱為積分點(diǎn)，算出被積函數(shù)在這些積分點(diǎn)處的函數(shù)值，然后用對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，乘以這些函數(shù)值，在求出總和，將其作為近似的積分值?，F(xiàn)討論它的積分。積分點(diǎn)的數(shù)目和位置決定了近似的程度，因而也就決定了數(shù)值積分的精度。對(duì)于個(gè)積分點(diǎn)（或取樣點(diǎn)），根據(jù)積分點(diǎn)上的被積函數(shù)值可以構(gòu)造一個(gè)近似多項(xiàng)式，使在積分點(diǎn)上有： （1）這個(gè)近似多項(xiàng)式可以通過Lagrange多項(xiàng)式來表示