【正文】 = 9.[十] 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。解：（1）X的可能取值為1，2，3，…，n，…P {X=n}=P {前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去} =， n=1，2，……（2）Y的可能取值為1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飛了出去}= P {Y=2}=P {第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去} = P {Y=3}=P {第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去} = 同上， 故8.[八] 甲、乙二人投籃，, ，令各投三次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求Y的分布律。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。解：（1）P (X=k)=qk－1p k=1,2,…… （2）Y=r+n={最后一次實驗前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}其中 q=1－p，或記r+n=k，則 P{Y=k}= （3）P (X=k) = ()k－ k=1,2…P (X取偶數(shù))=6.[六] 一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，問在同一時刻（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？[五] 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。（此時稱Y服從以r, p為參數(shù)的巴斯卡分布。（此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外出的概率分別為，設(shè)三人的行動相互獨立，求（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個電話，求（3）這3個電話打給同一人的概率；（4）這3個電話打給不同人的概率；（5）這3個電話都打給B，而B卻都不在的概率。解：記AAA3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球，BBB3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。）解：設(shè)D表示輸出信號為ABCA，BBB3分別表示輸入信號為AAAA，BBBB，CCCC，則BBB3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。 B=A1B+A2B+A3B 三種情況互斥由全概率公式，有∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =()3+()3+()3= 37.[三十四] 將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其它一字母的概率都是(1－α)/2?！? + +=P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)==又因： A=H1A+H2A+H3A 三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =++1=36.[三十三]設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機∵ ，三種情況互斥。求飛機被擊落的概率。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”=Br “任取一只是正品”=A由全概率公式，有 （條件概率定義與乘法公式）35．甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊?！? A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4獨立)34.[三十一] 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性?！? A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1，A2， A3， A4，A5互相獨立。（2） （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時，由全概率公式解）312LR32.[二十六（2）] 如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點，假設(shè)每一繼電器接點閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨立，求L和R是通路的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:45~5:49到家”，由題意,AB=φ,A∪B=S已知：P (A)=, P (C|A)=, P (C|B)=, P (B)=由貝葉斯公式有29.[二十四] 有兩箱同種類型的零件。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，顯然A1∪A2=S，A1 A2=φ由已知條件知由貝葉斯公式，有[二十二] 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 24.[十九] 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。不能用組合作，法二： 法三： 22.[十八] 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記H表撥號不超過三次而能接通。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。法二：用排列做 在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能。 P(|AB)==.21.[十七] 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。 y = 1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個為“1”點”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。A={擲二骰子，點數(shù)和為7時，其中有一顆為1點。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。再由加法定理，P (A∪)= P (A)+ P ()－P (A)=+－=于是18.[十四] 。這種鉚法有種17.[十三] 已知。這種鉚法有〔〕10種法二：用古典概率作把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。法一：用古典概率作：把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。放法有4種。(從3個球中選2個球，選法有，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。 (選排列：好比3個球在4個位置做排列)對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。取法有15.[十一] 將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i個” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球?！? 13.[九] 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對”∵ 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有種∴ （2）至少有2個次品的概率。（1）求恰有90個次品的概率。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有種 11.[七] 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。又事件A相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。（1）求最小的號碼為5的概率。后四個數(shù)全不同的排法有∴ 10.[六] 在房間里有10人。字典中的二個不同字母組成的單詞：55個∴ 9. 在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。解：P (A，B，C至少有一個發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 8.[五] 在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”∵ 從26個任選兩個來排列，排法有種。故 表示為：AB+BC+AC6.[三] 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=，P (B)=. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = ，P (B) = ≠φ，（否則AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=+=1與P (A∪B)≤1矛盾）.從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當(dāng)AB=A，即A∩B時P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=，（2）從(*)式知，當(dāng)A∪B=S時，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=+－1= 。故 表示為：（8）A，B，C中至少有二個發(fā)生。（7）A，B，C中不多于二個發(fā)生。表示為： 或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一個發(fā)生 表示為：A+B+C（4）A，B，C都發(fā)生， 表示為：ABC（5）A，B，C都不發(fā)生， 表示為：或S－ (A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一個發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個同時不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個發(fā)生。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。完全版概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題答案 第四版 盛驟 (浙江大學(xué))浙大第四版（高等教育出版社）第一章 概率論的基本概念1.[一] 寫出下列隨機試驗的樣本空間（1）記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分數(shù)（充以百分制記分）（[一] 1），n表小班人數(shù)（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。 （[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關(guān)系表示下列事件。表示為： 或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。故 表示為：。相當(dāng)于：中至少有一個發(fā)生。相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個發(fā)生。7.[四] 設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。每種排法等可能。（設(shè)后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0，1，2……9）記A表“后四個數(shù)全不同”∵ 后四個數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5”為事件A∵ 10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。這種組合的種數(shù)有∴ （2）求最大的號碼為5的概率。在搬運中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。取得4白3黑2