列主元高斯消去法和列主元三角分解法解線性方程-展示頁(yè)
2025-07-03 22:39本頁(yè)面
【正文】 return。如果 ，則將矩陣的第t行與第k行元素互換，將（i，j）位置的新元素仍記為或，然后再做第k步分解，這時(shí)【列主元高斯消去法程序流程圖】【列主元高斯消去法Matlab主程序】function x=gauss1(A,b,c) %列主元法高斯消去法解線性方程Ax=bif (length(A)~=length(b)) %判斷輸入的方程組是否有誤 disp(39。 設(shè)列主元素消去法已經(jīng)完成第1步到第k1步的按列選主元，交換兩行，消元計(jì)算得到與原方程組等價(jià)的方程組 A(k)x=b(k) 第k步計(jì)算如下： 對(duì)于k=1，2，…，n1 （1）按列選主元：即確定t使 （2）如果t≠k，則交換[A，b]第t行與第k行元素。所以在實(shí)際的運(yùn)算中，矩陣L和U可以直接計(jì)算出，而不需要任何中間步驟，從而在計(jì)算過(guò)程中將高斯消去法的步驟進(jìn)行了進(jìn)一步的簡(jiǎn)略，大大提高了運(yùn)算速度，這就是三角分解法采用選主元的方式與列主元高斯消去法一樣，也是為了避免除數(shù)過(guò)小，從而保證了計(jì)算的精確度【計(jì)算公式】 列主元高斯消去法設(shè)有線性方程組Ax=b，其中設(shè)A為非奇異矩陣。列主元三角分解法高斯消去法的消去過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是將A分解為兩個(gè)三角矩陣的乘積A=LU，并求解Ly=b的過(guò)程。相比之下，傳統(tǒng)的克萊姆法則則較為繁瑣，如求解20階線性方程組，克萊姆法則大約要次乘法，而用高斯消去法只需要3060次乘除法。計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告1 【課題名稱】用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解線性方程【目的和意義】高斯消去法是一個(gè)古老的求解線性方程組的方法，但由它改進(jìn)得到的選主元的高斯消去法則是目前計(jì)算機(jī)上常用的解低階稠密矩陣方程組的有效方法。用高斯消去法解線性方程組的基本思想時(shí)用矩陣行的初等變換將系數(shù)矩陣A約化為具有簡(jiǎn)單形式的矩陣（上三角矩陣、單位矩陣等），而三角形方程組則可以直接回帶求解用高斯消去法解線性方程組（其中A∈Rnn）的計(jì)算量為：乘除法運(yùn)算步驟為，加減運(yùn)算步驟為。在高斯消去法運(yùn)算的過(guò)程中，如果出現(xiàn)abs(A(i,i))等于零或過(guò)小的情況，則會(huì)導(dǎo)致矩陣元素?cái)?shù)量級(jí)嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，使得最后的計(jì)算結(jié)果不可靠，所以目前計(jì)算機(jī)上常用的解低階稠密矩陣方程的快速有效的方法時(shí)列主元高斯消去法，從而使計(jì)算結(jié)果更加精確。回帶過(guò)程就是求解上三角方程組Ux=y。方程組的增廣矩陣為 第1步（k=1）：首先在A的第一列中選取絕對(duì)值最大的元素，作為第一步的主元素: 然后交換（A，b）的第1行與第l行元素，再進(jìn)行消元計(jì)算。 （3）消元計(jì)算 消元乘數(shù)mik滿足: （4）回代求解 列主元三角分解法對(duì)方程組的增
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