【正文】 性的試驗問題，用一套較好的、較完備的試驗設備，將其理論及方法進行有效的檢驗，倒立擺可為此提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。由于倒立擺系統(tǒng)與火箭七行和雙足步行機器人的行走有很大相似性，因此倒立擺的研究對于火箭飛行以及機器人的控制等現(xiàn)代高科技術的研究具有重要的實踐意義。本文所使用的是固高倒立擺系統(tǒng)，固高直線倒立擺控制系統(tǒng)硬件框圖如下:計算機運動控制卡伺服驅(qū)動伺服電機倒立擺光電碼盤1光電碼盤2圖16倒立擺控制系統(tǒng)硬件框圖該系統(tǒng)主要包括計算機、運動控制卡、伺服系統(tǒng)、倒立擺本體和光電碼盤反饋測量元件等幾大部分，組成一個閉環(huán)系統(tǒng)。擺桿的角度由光電碼盤2測量出來并直接反饋到控制卡，角度的變化率信號可以通過差分得到。運動控制卡經(jīng)過DSP內(nèi)部的控制算法實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動小車運動，保持擺桿平衡。第2章 倒立擺的數(shù)學模型 數(shù)學模型概述直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一，直線一級倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導軌水平運動，在小車上裝載一級擺體組件。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)的輸入－輸出關系。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關系。 但是忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內(nèi)應用經(jīng)典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程。但由于牛頓力學法比較麻煩，故采用拉格朗日方法建立數(shù)學模型。建模方法如下：拉格朗日方程為：(21) 其中拉格朗日算子，為系統(tǒng)廣義坐標，為系統(tǒng)的動能，為系統(tǒng)的勢能。在一級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標有三個廣義坐標，分別為。小車的動能：(24) 其中分別為擺桿的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。為求解狀態(tài)方程：(211)需要求解，因此設。表21 系統(tǒng)物理參數(shù)倒立擺系統(tǒng)參數(shù)符號意義數(shù)值單位M小車質(zhì)量kgm擺桿質(zhì)量kgb摩擦系數(shù)N/m/secI擺桿轉(zhuǎn)動慣量Kg*m*ml轉(zhuǎn)軸到擺桿質(zhì)心的長度m把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。這些運算一般來說難以用手工精確和快捷地進行，而要借助計算機編制相應的程序做近似計算。對多數(shù)科學工作者而言，同時具備這兩方面技能有一定困難。其中包括：一般數(shù)值分析、矩陣運算、數(shù)字信號處理、建模和系統(tǒng)控制和優(yōu)化等應用程序，并集應用程序和圖形于一便于使用的集成環(huán)境中。綜上所述，Matlab語言有如下特點： （1）編程效率高 它是一種面向科學與工程計算的高級語言，允許用數(shù)學形式的語言編寫程序。 （2）用戶使用方便 Matlab語言是一種解釋執(zhí)行的語言，它靈活、方便，其調(diào)試程序手段豐富，調(diào)試速度快，需要學習時間少。 （3）擴充能力強 高版本的Matlab語言有豐富的庫函數(shù)，在進行復雜的數(shù)學運算時可以直接調(diào)用，而用戶可以根據(jù)自己的需要方便地建立和擴充新的庫函數(shù)，以便提高Matlab使用效率和擴充它的功能。使得Matlab編寫的M文件簡單、短小而高效。 （6）方便的繪圖功能 Matlab的繪圖是十分方便的，它有一系列繪圖函數(shù)（命令），簡單易行?？傊琈atlab語言的設計思想可以說代表了當前計算機高級語言的發(fā)展方向。 SIMULINK仿真Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具， 是一種基于MATLAB的框圖設計環(huán)境，是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包，被廣泛應用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。為了創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型，Simulink提供了一個建立模型方塊圖的圖形用戶接口(GUI) ，這個創(chuàng)建過程只需單擊和拖動鼠標操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結果。（2）交互式的圖形編輯器來組合和管理直觀的模塊圖。（4）圖形化的調(diào)試器和剖析器來檢查仿真結果，診斷設計性能和異常行為。 （6）模型分析和診斷工具來保證模型的一致性，確定模型中的錯誤。(2)添加建立的對象模型模塊。(4)運行仿真,得到系統(tǒng)(對象)的仿真結果。通過圖形用戶界面(GUI),用戶可以像用鉛筆在紙上畫圖一樣畫模型圖。Simulink包括一個復雜的由接收器、信號源、線性和非線性組件以及連接件組成的模塊庫,當然也可以是用戶自己制定的模塊,Simulink 的所有模型是分級的,因此可以通過自上而下或者自下而上來建立模型,用戶可以在最高層面上查看一個系統(tǒng),然后通過雙擊系統(tǒng)的各個模型進入系統(tǒng)的低一級層面以查看模型的更多細節(jié)，Simulink 的這一方法為用戶提供了一個了解模型的組成以及組成的各個部分是如何相互聯(lián)系的較好途徑。菜單方式對于交互式工作非常方便,而命令行方式對于處理成批的仿真比較有效。另外,還可以在仿真時改變參數(shù)并且立即就可以看到輸出會有什么新的變化。14 第4章 PID控制 PID控制簡述PID控制器又稱PID調(diào)節(jié)器，是工業(yè)過程控制系統(tǒng)中常用的有源校正裝置，目前應用比較廣泛的主要有電子式PID控制器和氣動式PID控制器。但是很多場合下，不能也沒有必要對控制系統(tǒng)建立精確的數(shù)學模型，這種情況下PID控制器的優(yōu)勢得以顯現(xiàn)：結構簡單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對系統(tǒng)建立精確的模型，在控制上應用較廣。反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執(zhí)行。這個理論和應用自動控制的關鍵是，做出正確的測量和比較后，才能更好地糾正系統(tǒng)。PID控制器由比例單元（P）、積分單元（I）和微分單元（D）組成。 為積分時間常數(shù)。在計算機進入到控制領域后，這種控制規(guī)律的應用不但沒有受到影響，而且有了新的發(fā)展，它是當今工業(yè)過程計算機控制系統(tǒng)中應用最廣泛的一種。可分為兩種。增量式PID控制算法：(43)使用中只需設定三個參數(shù)（，和）即可。首先，PID應用范圍廣。其次，PID參數(shù)較易整定。如果過程的動態(tài)特性變化，例如可能由負載的變化引起系統(tǒng)動態(tài)特性變化，PID參數(shù)就可以重新整定。 國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢PID控制是最早發(fā)展起來的控制策略之一,因為他所涉及的設計算法和控制結構都很簡單,并且十分適用于工程應用背景,所以工業(yè)界實際應用中PID控制器是應用最廣泛的一種控制略(至今在全世界過程控制中用的80%以上仍是純PID 調(diào)節(jié)器,若改進型包含在內(nèi)則超90% ) 。隨著微機處理技術和現(xiàn)代控制理論諸如自適應控制、最優(yōu)控制、預測控制魯棒控制、智能控制等控制策略引入到PID控制中,出現(xiàn)了許多新型PID 控制器。PID控制技術的發(fā)展可以分為兩個階段 , 20世紀30年代晚期微分控制的加入標志著PID控制成為一種標準結構,也是PID控制兩個發(fā)展階段的分水嶺。1940年以后是第二階段,為革新階段,在革新階段, PID控制器已經(jīng)發(fā)展成一種魯棒的、可靠的、易于應用的控制器。從氣動控制到電氣控制到電子控制再到數(shù)字控制, PID 控制器的體積逐漸縮小,性能不斷提高。PID控制至今仍是應用最廣泛的一種實用控制器。一方面,各種新的控制思想不斷被應用于PID控制器的設計之中或者是使用新的控制思想設計出具有PID結構的新控制器,PID控制技術被注入了新的活力。自PID控制被提出,控制器參數(shù)的整定方法就一直是人們研究的熱點問題之一。智能整定方法具有很大的靈活性,靈活運用專家知識和經(jīng)驗,使控制器的適用范圍擴大。自適應控制思想與常規(guī)PID 控制器相結合, 形成了所謂自適應PID控制或自校正PID控制技術。為了突出PID控制的這一優(yōu)勢，我們采用實驗的方法對系統(tǒng)進行控制器參數(shù)的設置，即在Matlab中利用Simulink仿真測試來確定PID控制器的參數(shù)。圖41 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖圖中KD（s）是控制器傳遞函數(shù)，G（s）是被控對象的傳遞函數(shù)由于，為了方便查看我們將上圖進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換結果如下圖32所示。用理論設計法確定PID控制器參數(shù)的前提是被控對象要有準確的數(shù)學模型，這在一般工業(yè)過程中是很難做到的，因此我們主要采用的還是實驗確定法的試湊法。采用試湊法重要的一點是要熟悉各控制參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響。但比例系數(shù)過大，會加大系統(tǒng)超調(diào)，甚至產(chǎn)生振蕩，使系統(tǒng)不穩(wěn)定。增大微分系數(shù)Kd，有利于加速系統(tǒng)的響應，使超調(diào)量減小，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，但系統(tǒng)抗干擾能力變差，對擾動過于敏感。步驟如下： ，確定比例系數(shù)。如果僅調(diào)節(jié)比例調(diào)節(jié)器參數(shù)，系統(tǒng)的靜差還達不到設計要求時，則需加入積分環(huán)節(jié)。若使用比例積分器，能消除靜差，但動態(tài)過程經(jīng)反復調(diào)整后仍達不到要求，這時可加入微分環(huán)節(jié)。由實際系統(tǒng)的物理模型：在Simulink中建立如圖所示的直線一級倒立擺模型：圖 51 直線一級倒立擺PID控制MATLAB仿真模型其中PID Controller為封裝（Mask）后的PID控制器，雙擊模塊打開參數(shù)設置窗口，圖 52 PID參數(shù)設置窗口先設置PID控制器為P控制器，令，得到以下仿真結果：圖 53 直線一級倒立擺P控制仿真結果圖（Kp＝9）從圖中可以看出，控制曲線不收斂，因此增大控制量，得到以下仿真結果：圖 54直線一級倒立擺P控制仿真結果圖（Kp＝40）從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩。為消除穩(wěn)態(tài)誤差，我們增加積分參數(shù)，令：得到以下仿真結果：圖 57直線一級倒立擺PID控制仿真結果圖（Kp＝40，Ki＝20，Kd＝4）從上面仿真結果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但由于積分因素的影響，穩(wěn)定時間明顯增大。 直線一級倒立擺的PID仿真程序直線一級倒立擺也可以采用編寫M文件的方法進行仿真。num=[]。kd=10 %pid close loop system pendant response for impluse signalk=40ki=10numPID= [ kd k ki ]。numc= conv ( num, denPID )denc= polyadd ( conv(denPID, den ), conv( numPID, num ) )t = 0 : : 5。impulse ( numc , denc , t )%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%運行程序后得到如圖59的仿真結果：圖59直線一級倒立擺 PID 控制 MATLAB仿真結果（脈沖干擾） 直線一級倒立擺的PID實時控制實時控制實驗在MATALB Simulink環(huán)境下進行，在 Simulink中建立如圖510所示的直線一級倒立擺模型。在控制過程中緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進入自動控制后松開，當小車運動到正負限位的位置時，用工具擋一下擺桿，使小車反向運動。 圖511 直線一級倒立擺PID 控制實驗結果1從圖511中可以看出，倒立擺可以實現(xiàn)較好的穩(wěn)定性，擺桿的角度在 （弧度）左右。在給定干擾的情況下，小車位置和擺桿角度的變化曲線如下圖512所示： 圖512 直線一級倒立擺PID 控制實驗結果2（施加干擾） 可以看出,系統(tǒng)可以較好的抵換外界干擾，在干擾停止作用后，系統(tǒng)能很快回到平衡位置。如果不對則控制達不到要求，故起始須要求擺桿靜止垂直向下，小車放中間，程序開始運行時需要給擺桿一個外力，即緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進入自動控制后松開，當小車運動到正負限位的位置時，用工具擋一下擺桿，使小車反向運動。并且假設控制向量u(t)是無約束的。K=lqr(A，B，Q，R) 改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應效果，Q的值越大(在一定的范圍之內(nèi))，系統(tǒng)抵抗干擾的能力越強，調(diào)整時間越短。 LQR控制參數(shù)調(diào)節(jié)及仿真前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動力學模型，下面我們針對直線型一級倒立擺系統(tǒng)應用LQR法設計與調(diào)節(jié)控制器，控制擺桿保持豎直向上平衡的同時，跟蹤小車的位置。應用線性反饋控制器，控制系統(tǒng)結構如下圖。設計控制器使得當給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達新的指定位置。在Matlab中得到最優(yōu)控制器對應的。最簡單的情況是假設。其中， 代表小車位置的權重，而是擺桿角度的權重，輸入的權重是1。下面在MATLAB中編程計算：clear。 0 0 0 0。 0 0 0]。C=[ 1 0 0 0。D=[ 0 0 ]39。 Q33=200。 0 0 0 0。 0 0 0 0]。K = lqr(A,B,Q,R)Ac = [(AB*K)]。 Cc = [C]。T=0::5。Cn=[1 0 0 0]。B=[Nbar*B]。plot(T,X(:,1),39。)。plot(T,X(:,2),39。)。plot(T,X(:,3),39。)。plot(T,X(:,4),39。)legend(39。,39。,39。,39。)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%程序如上所示。由程序的結果可得矩陣K=[1 ]。圖63 LQR Controller 結構由上面的編程計算得到的矩陣K的值。參數(shù)設置以后就可以進行直線一級倒立擺LQR控制的仿真，其仿真結果如圖64所示。 可以發(fā)現(xiàn)，Q矩陣中，增加使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。輸入?yún)?shù)，運行得到響應曲線如圖65所示： 圖65 直線一級倒立擺LQR 控制仿真結果2從圖中可以看出，系統(tǒng)響應時間有明顯的改善，增大和，系統(tǒng)的響應還會更快，但是對于實際離散控制系統(tǒng)，過大的控制量會引起系統(tǒng)振蕩。圖6