基礎(chǔ)課教學(xué)與創(chuàng)新精神-展示頁
2025-06-26 15:18本頁面
【正文】 卻不會(huì)引起誤解，所以這里也不說了.２． 一個(gè)習(xí)題這一部分是關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)分析習(xí)題，與中學(xué)教學(xué)無關(guān)．小平邦彥的這本書 《微積分入門Ⅰ，一元微積分》第224頁有如下的題目：“舉例說明，存在滿足并且在區(qū)間上一致收斂于的連續(xù)函數(shù)序列.”,與下面所說相同:只需找一個(gè)在區(qū)間上有界的連續(xù)函數(shù)使得，然后再令即可. 在積分中作變量變換，就有在區(qū)間上一致收斂于０由的有界性是自明的.例如，取等等均可.問題在于這個(gè)題目說明了什么？我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中都學(xué)過：“若區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)序列在此區(qū)間上一致收斂于０，則必可在積分號(hào)下取極限而得”為什么不能仿照上面的例子來構(gòu)造一個(gè)反例來推翻數(shù)學(xué)分析的這個(gè)有根本重要性的定理呢？至少可以這樣來看:如果作前面那樣的變量變換,積分積分區(qū)間短了一大截,當(dāng)時(shí),積分區(qū)間趨為一點(diǎn),當(dāng)然就不再可能.小平邦彥為什么出這樣一個(gè)題目?我想是因?yàn)槲覀儗?duì)那個(gè)一致收斂序列可以在積分號(hào)下取極限的定理“太熟悉”，所以覺得陰溝里翻不了船,也就不太細(xì)心了,心里一驚,我們?cè)趯W(xué)或者教數(shù)學(xué)分析課程時(shí),.，這條曲線下面的面積就只會(huì)趨向0,而為什么表示面積的積分始終為呢?問題出在自變量也在變化:由變成了所以軸上的單位長度相應(yīng)于原來的軸上的長度也就是說,曲線在高度被壓低到原來的高度的的同時(shí),其水平的長度卻被拉伸了倍,所以曲線下方的面積是不變的,“協(xié)變（covariant）”和“逆變(contravariant)”，其實(shí)可以再往前面走一步，看一個(gè)中學(xué)教學(xué)中就已經(jīng)有點(diǎn)忽悠人的小問題：函數(shù)的圖像與的圖像的位置（不妨只看的情況）關(guān)系，恰好是在左方相距處，而的圖像是把的圖像向右移動(dòng)一個(gè)又見協(xié)變和逆變的關(guān)系！不妨想得更寬闊一些：既然已經(jīng)看見了的幾何意義，何妨再看一看的幾何意義（，自變量上的因子顯然表示在軸方向上向原點(diǎn)收縮到原有的所以，如果這個(gè)函數(shù)的圖像是一個(gè)鐘形，則當(dāng)時(shí)應(yīng)該能夠得到一個(gè)“函數(shù)”.因此我們應(yīng)該可以證明:當(dāng)著是一個(gè)緊支集連續(xù)函數(shù)時(shí)，目的并不在于想得到某個(gè)新定理（有時(shí)也會(huì)得到很有意思的結(jié)果），而在于加深自己的理解，使自己在一門非常古老的課程（包括中學(xué)教材）“水”《讀書有感》曰：“半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊. 問渠哪得清如許，為有源頭活水來.”通篇沒有一個(gè)“書”字，讀書和教書與其說是方法問題，更是一個(gè)心態(tài)問題，是怎樣使自己讀書教書很愉快，“不那么累”，而且不斷得到源頭活水，如醍醐灌頂，天光云影，既在書中，又在心中，相印相通，豈不快哉！閑話打住，開區(qū)間不行，“緊集合”，這使得不少學(xué)生糊涂，連續(xù)函數(shù)可以達(dá)到最大最小值、連續(xù)函數(shù)又是一致連續(xù)都要用到有界閉區(qū)間，區(qū)間是需要的，有界閉則大可不必（不過定理的陳述要改成：若定義在集合上的連續(xù)函數(shù)能夠取兩值，則它在一定可以取間的一切值）.有界閉講的是緊性，則此定理可能不成立，例如
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