【正文】 設直線AB的方程為y=k(x1)代入得(b2+a2k2)x22a2k2x+ a2 k2 a2 b2=0,故x1+x2=因為恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2x1)2+(y2y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x11) (x21)=(1+k2) x1x2k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由題意得（a2 a2 b2+b2）k2 a2 b20對kR恒成立.①當a2 a2 b2+b20時，不合題意；②當a2 a2 b2+b2=0時，a=。題型一：條件和結論可以直接或經(jīng)過轉化后可用兩根之和與兩根之積來處理1. 福建 直線，為平面上的動點，F(xiàn)(1,0)過作直線 的垂線，垂足為點，且．（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，求的值；本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．滿分14分．PBQMFOAxy解法一：（Ⅰ）設點，則，由得：，化簡得．（Ⅱ）設直線的方程為：．設，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，．解法二：（Ⅰ）由得：，2．所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．（Ⅱ）由已知，得．則：．…………①過點分別作準線的垂線，垂足分別為，則有：．…………②由①②得：，即．2. (全國卷Ⅰ)）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。設直線AB的方程未知數(shù)一個，利用N（1，3）是線段AB的中點，可消掉次未知數(shù)。1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)∴②當=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=。 (05浙江) 17．如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)若直線l1：x＝m(|m|＞1)，P為l1上的動點，使∠F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標(用m表示)．OF2F1A2A1PM解：（Ｉ）設橢圓方程為（），半焦距為c, 則,由題意，得 ,解得 故橢圓方程為（II）設P(當時，當時, 只需求的最大值即可。簡單的說就是看題目中未知數(shù)個數(shù)與條件個數(shù)。 故有：，化簡得：關于的方程有無窮多解，有： 21世紀教育網(wǎng) 解之得：點P坐標為或。(1)設直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結合點到直線距離公式，得： 化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設點P坐標為，直線、的方程分別為：21世紀教育網(wǎng) ，即：因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等?！窘馕觥?本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數(shù)學運算求解能力、綜合分析問題的能力。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為。故所求點P的軌跡為直線。（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（3，0）?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。（07湖北）在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點．（I）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．（此題不要求在答題卡上畫圖）ABxyNCO19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點的坐標為，可設，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByx由韋達定理得，．于是．，當時，．（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxl則，點的坐標為．，，．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得，又由點到直線的距離公式得．從而，當時，．（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設直線與以為直徑的圓的交點為，則有．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．（2010江蘇卷）1（本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F?！窘馕觥?I)證明1: 整理得: 設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: ……..(1)設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: ……(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設圓心C到直線x2y=0的距離為d,則當y=p時,d有最小值,由題設得 .解法2: 設圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設直線x2y+m=0到直線x2y=0的距離為,則因為x2y+2=0與無公共點,所以當x2y2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x2y=0的距離為d,則又因當時,d有最小值,由題設得 .(山東理)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．【標準答案】(I)由題意設橢圓的標準方程為，