【正文】 離散型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制與連續(xù)系統(tǒng)方法相同，脈沖傳遞函數(shù)的定義在形式上與連續(xù)系統(tǒng)一致。 ))(()()(TTT ezzezezzzzzG101010 111 ??? ????????２ ) 由連續(xù)部分的傳函求脈沖傳函 )]([)]([)]([)( * sGZtgZtgZzG ???例 822 已知離散系統(tǒng)的連續(xù)部分傳函 求脈沖傳遞函數(shù)。 G(s) r(t) r*(t) c(t) c*(t) G(z) 2. 脈沖傳函的意義 列與之相對(duì)應(yīng)：也存在三個(gè)離散函數(shù)序在離散系統(tǒng)中， )()()(,)()()( zRzGzCzRzCzG ??)]([)() ] ,([)() ] ,([)( *** zGZtgzRZtrzCZtc 111 ??? ??? 離散脈沖響應(yīng)函數(shù)的 z變換等于脈沖傳函。 強(qiáng)調(diào) ： G(z)作為離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，與差分方程一樣，僅描述離散信號(hào)之間的關(guān)系。 (2) 一般只適合描述單輸入單輸出系統(tǒng) 。 1. 脈沖傳函的定義 變換 輸 入脈沖序列的變換輸 出脈沖序列的zz ??)()()(zRzCzG 定義： 在線性定常離散系統(tǒng)中 , 初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的 z變換之比，稱為 脈沖傳函 。 給分析和計(jì)算帶來(lái)極大方便。 解：對(duì)差分方程兩邊取 z變換 zC(z)zc(0)bC(z)=R(z) 代入 00 ???? )(,)()( caz zaZzR k求得 ))(()( bzazzzC???部分分式法求 z反變換 ][)(bzzazzbazC ?????1查表得 , . . . ),()()( 210 1 ???? kbabakc kk 例 825 二階離散系統(tǒng)的差分方程為 c(k+2)5c(k+1)+6c(k) =r(k) 已知 r(k)=1(k)=1,初始條件 c(0)=6,c(1)=25,求響應(yīng) c(k)。 差分方程式 r(k) c(k) 求解代數(shù)方程 時(shí)域解 Z z的代數(shù)方程 R(z) C(z) z域解 Z1 經(jīng)典法求解 用 z變換法求解常系數(shù) 差分方程的一般步驟： 1. 利用 z變換的超前或延遲定理對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行z變換，代入相應(yīng)的初始條件，化為復(fù)變量 z的代數(shù)方程； 2. 求出代數(shù)方程的解 c(z)； 3. 對(duì) c(z)進(jìn)行反變換，得出 c(kT)或 c*(t)。 對(duì)后向差分方程 c(k)5c(k1)+6c(k2)=r(k) 令 k’=k2，則變換為前向差分方程 c(k’+2)5c(k’+1)+6c(k’)=r(k’+2) 當(dāng)， k’=0有 k=2，則 c(k’)|k’=0 =c(0’)=6 r(k’)|k’=0 =r(0’)=1 當(dāng)， k’=1有 k=3，則 c(k’)|k’=1 =c(1’)=25 r(k’)|k’=1 =r(1’)=1 c(k’+2)= r(k’+2) +5c(k’+1)6c(k’) 寫(xiě)出差分方程的遞推形式 根據(jù)新的初始條件，并令 k’=2, 3, 4… ，逐拍遞推，有 k’=0 c(0)=6 k’=1 c(1)=25 初始條件 k’=2 c(2)=r(2)+5c(1)6c(0)=90 k’=3 c(3)=r(3)+5c(2)6c(1)=301 k’=4 c(4)=r(4)+5c(3)6c(2)=966 … 由此可以畫(huà)出輸出 c(k)隨時(shí)間變化的曲線。 2T 3T T t e*(t) 4T * 例 823 將后向差分方程 c(k)5c(k1)+6c(k2)=r(k) 轉(zhuǎn)換為前向差分方程，并用迭代法求輸出序列 c(k)。 解：可以寫(xiě)出后向差分方程的遞推形式 c(k)= r(k) + 5c(k1)6c(k2) 根據(jù)初始條件 c(0)=0, c(1)=1，并令 k=2, 3, 4… ， 逐拍遞推，有 k=0 c(0)=0 k=1 c(1)=1 初始條件 k=2 c(2)=r(2)+5c(1)6c(0)=6 k=3 c(3)=r(3)+5c(2)6c(1)=25 k=4 c(4)=r(4)+5c(3)6c(2)=90 … 由此可以畫(huà)出輸出 c(k)隨時(shí)間變化的曲線。 試用迭代法求在 r(k)=1(k)=1 (k0)作用下的輸出序列。比連續(xù)系統(tǒng)方便！ 在實(shí)際當(dāng)中，應(yīng)用較廣泛 線 性定常離散系統(tǒng)，也可以 用 n階前向差分方程描述 , 即 )()()()()()(krbmkrbmkrbkcankcankcmn???????????????11101n—系統(tǒng)的階次 k—系統(tǒng)的第 k個(gè)采樣周期 遞推形式 ? ?? ????????mjniij inkcajmkrbnkc0 1)()()(在實(shí)際當(dāng)中，較少應(yīng)用 1) 迭代法 線性定常系統(tǒng)差分方程可以寫(xiě)成遞推形式 ? ?? ?????mjniij ikcajkrbkc0 1)()()(? ?? ????????mjniij inkcajmkrbnkc0 1)()()( 當(dāng)給出輸出函數(shù)的 n個(gè)初始值后，可以從 n+1個(gè)值遞推計(jì)算下去，它適合于計(jì)算機(jī)運(yùn)算，簡(jiǎn)單快捷?？梢园堰@種關(guān)系用 n階后向差分方程 描述： )()()()()()(mkrbkrbkrbnkcakcakcmn?????????????11101n—系統(tǒng)的階次 k—系統(tǒng)的第 k個(gè)采樣周期 線性定常系統(tǒng)差分方程的一般形式 。即， ▽ e(k)= e(k) e(k1) ▽ e(k)稱為 一階后向差分 。即 Δ e(k)= e(k+1) e(k) Δ e(k)稱為 一階前向差分 。 設(shè)離散函數(shù)序列 e(kT) ，為了方便可簡(jiǎn)寫(xiě)為 e(k)。 1. 差分的定義 差分 ：是采樣信號(hào)兩相鄰采樣脈沖之間的差值。?數(shù)學(xué)模型 – – ? 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 – – – 第八章 離散控制系統(tǒng) (2) 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 差分方程 數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)定量分析的基礎(chǔ)。 連續(xù)系統(tǒng) —微分方程 —L變換 —代數(shù)方程 —傳遞函數(shù) 離散系統(tǒng) —差分方程 — Z變換 —代數(shù)方程 —脈沖傳函 類比： 相似性 把握住兩者的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，可 事半功倍！ 在離散系統(tǒng)中，由于采樣時(shí)間的離散性，要描述脈沖序列隨時(shí)間的變化規(guī)律，可以采用差分的概念。一系列差值變化的規(guī)律，可反映出采樣信號(hào)的變化規(guī)律。 1) 前向差分 是下一時(shí)刻采樣值 e(k+1)與現(xiàn)在時(shí)刻采樣值 e(k) 之差Δ e(k) 。 二階前向差分 : Δ2e(k)=Δ[Δe(k)]=Δ[ e(k+1) e(k)] = Δe(k+1) Δe(k)] = [ e(k+2) e(k+1)] [ e(k+1) e(k)] = e(k+2) 2e(k+1) +e(k) n階 前向差分 : )()()1()()1()]([)(0111inkeininkekekekeniinnnn???????????????????！??！kT (k+1)T (k1)T Δe(k) ▽ e(k) t e*(t) 2) 后向差分 是現(xiàn)在時(shí)刻采樣值 e(k)與上一時(shí)刻采樣值 e(k1)之差▽ e(k) 。 二階后向差分 : ▽ 2e(k)=▽ [▽ e(k)]=▽ [ e(k) e(k1)] = ▽ e(k) ▽ e(k1)] = [ e(k) e(k1)] [ e(k1) e(k2)] = e(k) 2e(k1) +e(k2)] n階 后向差分 : )()()( ikeininnii ????? ?。?！01▽ ne(k)=▽ n1[▽ e(k)]=▽ n1e(k) ▽ n1e(k1)]= kT (k+1)T (k1)T Δe(k) ▽ e(k) t e*(t) 2. 線性常系數(shù)差分方程 對(duì)于單輸入單輸出線性定常離散系統(tǒng)，在某一采樣時(shí)刻的輸出值 c(k) 不僅與這一時(shí)刻的輸入值 r(k)有關(guān)，而且與過(guò)去時(shí)刻的輸入值 r(k1)、 r(k2)… 有關(guān)，還與過(guò)去的輸出值 c(k1)、 c(k2)…有關(guān)。 遞推形式 ? ?? ?????mjniij ikcajkrbkc0 1)()()(特別適合在計(jì)算機(jī)上求解。 例 818 已知離散系統(tǒng)的后向差分方程 c(k)5c(k1)+6c(k2)=r(k) 初始條件 c(0)=0, c(1)=1。 3. 差分方程的解法 有 經(jīng)典法 *較繁瑣：通解 +特解 、迭代法和 z變換法。 n階方程需要 n個(gè)初始值，從 n+1開(kāi)始遞推，初始值不同解也不同，初始值可以看作為輸入。 解： 對(duì)應(yīng)的初始條件可根據(jù)原方程初值及變量和的關(guān)系求出。 3) z變換法 用 z變換法求解常系數(shù) 差分方程的方法與用拉氏變換 求解微 分方程方法類似 。 ??)()()()()]([)()()()]([)()()]([TzeTezezzEzTteZTzeezzEzTteZzezzETteZ20302023322????????????例 824 一階離散系統(tǒng)的差分方程為 c(k+1)bc(k) =r(k) 已知 r(k)=ak,初始條件 c(0)=0，求響應(yīng) c(k)。 解：對(duì)差分方程兩邊取 z變換 [z2C(z)z2c(0)zc(1)] –5[zC(z)zc(0)]6C(z)=R(z) 代入 2516011 ????? )(,)(,))(()( ccz zkZzR求得 ))(()()(165611622??????zzzzzzzC部分分式法求 z反變換 351328150?????? zzzzzzzC ..)(查表得 , .. . ),(..)( 210 35132850 ?????? kkckk 脈沖傳遞函數(shù) 在連續(xù)系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)是 s域的數(shù)學(xué)模型，分析起來(lái)比時(shí)域里面的微分方程更方便；同樣，在離散系統(tǒng)中通過(guò) z變換，可以建立 z域的數(shù)學(xué)模型，稱為 z傳遞函數(shù) ，又稱 脈沖傳遞函數(shù) 。 作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，僅依賴于對(duì)象本身，與輸入無(wú)關(guān)。 nnmmza