【正文】 令，得，∴ ∵，∴，即. 又∵，∴ 所以.2. （2009天津理20，極值比較討論）已知函數(shù)其中⑴當時，求曲線處的切線的斜率； ⑵當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。⑴⑵ 以下分兩種情況討論：①＞，則＜.當變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗ ②＜，則＞，當變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗ 3. 已知函數(shù)⑴設(shè)兩曲線有公共點，且在公共點處的切線相同，若，試建立 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；⑵若在(0,4)上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。（3）由2）知：當a0時，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增， ∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 又∵，∴函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的值域是，即] 又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)， 且它在區(qū)間[0，4]上的值域是. ∵－＝＝， ∴存在使得成立只須 －1.．13. (2010山東，兩邊分求，最小值與最大值)已知函數(shù).⑴當時，討論的單調(diào)性；⑵設(shè)當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.解：本題將導數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學們分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力.（1）直接利用函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間[1,2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù).⑴，令①當時，當,函數(shù)單調(diào)遞減；當，函數(shù)單調(diào)遞增.②當時，由，即，解得.當時，恒成立，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，,時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)遞減.當時，當,函數(shù)單調(diào)遞減；當，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當時,恒成立,此時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當時,函數(shù)在遞減,遞增,遞減.⑵當時，在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，（※）又當時，與（※）矛盾；當時，也與（※）矛盾；當時，.綜上，實數(shù)的取值范圍是.14. 設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當時，過原點的直線與函數(shù)的圖象相切于點P，求點P的坐標；（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當時，設(shè)函數(shù)，若對于]，[0，1]使≥成立，求實數(shù)b的取值范圍.（是自然對數(shù)的底，）解：函數(shù)的定義域為， （Ⅰ）設(shè)點，當時，則，∴解得，故點P 的坐標為（Ⅱ）∵ ∴ ∴當，或時，當時，故當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）可知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，∵，又，∴，∴，故函數(shù)在上的最小值為若對于，使 ≥成立在上的最小值不大于在上的最小值（*） 又，①當時，在上為增函數(shù)，與（*）矛盾②當時，由及得，③當時，在上為減函數(shù)，此時 綜上，的取值范圍是15. (2010山東，兩邊分求，最小值與最大值)已知函數(shù)．⑴求在上的最小值；⑵若存在（是常數(shù)，＝）使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；⑶證明對一切都有成立．解：⑴，⑵由題意知，而，故（Ⅲ）　等價證明由⑴知．16. （最值應用）(用過了)設(shè)函數(shù)，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).⑴求與的關(guān)系；⑵若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；⑶設(shè)，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得 而，所以、的關(guān)系為.（2）由（1）知，.令，要使在其定義域內(nèi)單調(diào)，只需恒成立.①當時，因為＞，所以＜0，＜0，∴在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意；②當＞0時，∴，只需，即，∴在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意.③當＜0時，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故＜0適合題意. 綜上所述，的取值范圍為.（3）∵在上是減函數(shù)，∴時，；時，即，①當時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；②當0＜＜1時，由，又由（2）知當時，在上是增函數(shù)，∴＜，不合題意；③當時，由（2）知在上是增函數(shù)，＜2，又在上是減函數(shù)，故只需＞，而， 即 ＞2，解得＞ ，綜上，的取值范圍是.17. （2011湖南文，第2問難，單調(diào)性與極值，好題）設(shè)函數(shù)⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵若有兩個極值點，記過點的直線斜率為,問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：⑴的定義域為令①當故上單調(diào)遞增．②當?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增．③當?shù)膬筛鶠?，當時， ；當時，；當時，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．⑵由⑴知，若有兩個極值點，則只能是情況③，故．因為，所以又由⑴知，于是若存在，使得則．即．亦即再由⑴知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾．故不存在，使得18. （構(gòu)造函數(shù)，好，較難）已知函數(shù).⑴求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；⑵記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點是曲線上兩個不同點，如果曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)是否存在中值相依切線，請說明理由.解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是. 由已知得，. ⅰ 當時, 令,解得。函數(shù)在和上單調(diào)遞增 ②當時，即時, 顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增； ③當時，即時, 令,解得或函數(shù)在和上單調(diào)遞增.綜上所述:⑴當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增⑵當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增⑶當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；⑷當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增.(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”.設(shè),是曲線上的不同兩點，且，則，. .曲線在點處的切線斜率， 依題意得：.化簡可得 ， 即=. 設(shè) ()，上式化為：,令,.因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立.所以在內(nèi)不存在,使得成立. 綜上所述，函數(shù)不存在“中值相依切線”19. (2011天津理19，綜合應用)已知，函數(shù)，．(的圖象連續(xù))⑴求的單調(diào)區(qū)間；⑵若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明：．解：⑴，．令，則．當變化時，的變化情況如下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．⑵由及的單調(diào)性知．從而在區(qū)間上的最小值為．又由，則．所以即所以．20. （恒成立，直接利用最值）已知函數(shù)，⑴若是函數(shù)的一個極值點，求；⑵討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑶若對于任意的,不等式在上恒成立，求的取值范圍.解：⑴,因為是函數(shù)的一個極值點，所以，得.又，所以. ⑵因為的定義域是，.①當時，列表＋－＋增減增在，是增函數(shù)；在是減函數(shù).②當時，在是增函數(shù).③當時，列表＋－＋增減增在,是增函數(shù)；在是減函數(shù).⑶21. （最值與圖象特征應用）設(shè)，函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）.⑴判斷的單調(diào)性；⑵若上恒成立，求a的取值范圍.解：⑴∵ 令①當在R上為減函數(shù).②當在R上為減函數(shù). ③當時，由得由得上為增函數(shù)；上為減函數(shù). ⑵由⑴知①當上為減函數(shù).②當在[1，2]上不恒成立，∴a的取值范圍是 22. (單調(diào)性)已知=ln(x+2)－x2+bx+c⑴若函數(shù)在點(1，y)處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，且f(－1)=0，求函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最小值；⑵若在區(qū)間[0,m]上單調(diào)，求b的取值范圍.解：⑴，依題意令= ，＝0，解得b=4，c=5. x0(0,)（,3）3y′+0－yln2+5極大8+ln5因為8+ln55+ln2 ∴x=0時在[0，3]上最小值=5+ln2.⑵若在區(qū)間[0，m]上單調(diào)，有兩種可能 ①令≥0得b≥2x－，在[0，m]上恒成立 而y=2x－在[0，m]上單調(diào)遞增，最大值為2m－，∴b≥2m－. ②令≤0 得b≤2x－，而 y=2x－在[0，m]單增，最小為y=－，∴b≤－.故b≥2m－或b≤－時在[0，m]上單調(diào).23. （單調(diào)性，用到二階導數(shù)的技巧） 已知函數(shù) ⑴若，求的極大值； ⑵若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實數(shù)k的取值范圍.解：⑴定義域為 令 由由即上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時，F(xiàn)(x)取得極大值 　⑵的定義域為(0，+∞)，由G (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減知：在(0，+∞)內(nèi)恒成立令，則 由∵當時為增函數(shù)當時，為減函數(shù)∴當x = e時，H(x)取最大值故只需恒成立，又當時，只有一點x = e使得不影響其單調(diào)性 二、交點與根的分布24. （2008四川22，交點個數(shù)與根的分布）已知是函數(shù)的一個極值點．⑴求；⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑶若直線與函數(shù)的圖像有個交點，求的取值范圍．解：⑴，是函數(shù)的一個極值點．，⑵由⑴， 令，得，和隨的變化情況如下：1300增極大值減極小值增的增區(qū)間是，；減區(qū)間是(1,3)．⑶由②知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，．又時，；時，；可據(jù)此畫出函數(shù)的草圖（圖略），由圖可知，當直線與函數(shù)的圖像有3個交點時，的取值范圍為．25. 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在上有三個零點．（1）求的值； （2）若1是其中一個零點，求的取值范圍；（3）若，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g(x)相切？請說明理由.⑶=2x+lnx，設(shè)過點（2，5）與曲線g (x)的切線的切點坐標為∴，即 ∴，令h(x)=，∴==0，∴∴h(x)在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，）上單調(diào)遞增又，h(2)=ln210，∴h(x)與x軸有兩個交點，∴過點（2，5）可作2條曲線y=g(x)的切線.26. （交點個數(shù)與根的分布）已知函數(shù)⑴求在區(qū)間上的最大值⑵是否存在實數(shù)使得的圖像與的圖像有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)；當或時，當充分接近0時，當充分大時，要使的圖像與軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須　　即∴存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖像有且只有三個不同的交點，的取值范圍為27. （交點個數(shù)與根的分布） 已知函數(shù) ⑴求f(x)在[0,1]上的極值；⑵若對任意成立，求實數(shù)a的取值范圍；⑶若關(guān)于x的方程在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍.解：⑴，令（舍去） 單調(diào)遞增；當遞減. 上的極大值.⑵由得設(shè)，依題意知上恒成立，， 上單增，要使不等式①成立，當且僅當 　 ⑶由令，當上遞增； 上遞減， 而，恰有兩個不同實根等價于 28. (2009寧夏，利用根的分布)已知函數(shù)⑴如，求的單調(diào)區(qū)間；⑵若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明：＜6. 解：⑴時， 當當從而單調(diào)減少.⑵由條件得從而因為所以將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是 29. （2009天津文，利用根的分布討論）設(shè)函數(shù)，其中⑴當時，求曲線在點處的切線的斜率⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值⑶已知函數(shù)有三個互不相同的零點，且，若對任意的恒成立，求的取值范圍.解：⑴當所以曲線在點處的切線斜率為1.⑵，令，得到因為，當x變化時，的變化情況如下表：+0－0+↓極小值↑極大值↓在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。33. 已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間[1，1]上的減函數(shù). （I）求的最大值； （II）若上恒成立，求t的取值范圍； （Ⅲ）討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．解：（I），上單調(diào)遞減，在[1，1]上恒成立，故的最大值為（II）由題意（其中），恒成立，令，則，恒成立，（Ⅲ）由 令當[來源上為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)；當[來源:學*科*網(wǎng)]而方程無解；當時，方程有一個根；當時，方程有兩個根.三、不等式證明作差證明不等式34. （2010湖南，最值、作差構(gòu)造函數(shù)）