【正文】 （2）（3）（4）（1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是.. [答]CD.（2）[0202]當時，與x比較是[答]B解:當,與x是極限的運算：[0611]解：[答案]1（1）[0208] [答]解:（2）[0621]計算[答]解:（1）[0316]計算 [答]解:（2）[9516] [答]解: [答]（1）[0308]一般地，有Ⅰ求極限（1）[9603]下列極限中，成立的是.. [答]B（2）[0006] [答]解:Ⅱ求極限（1）[0416]計算 [答][解析]解一：令解二：[0306][0601]（2）[0118]計算 [答]解:[0407] [答]0解:，[0317] [答]0解:當（1）[0307]設則在的左極限[答]1[解析]（2）[0406]設,則 [答]1[解析]（1）已知則常數(shù)[解析]解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必達法則）即，得.（2）若求a,b的值.[解析]型未定式.當時，.令于是，得.即，所以.[0402][0017]，則k=_____.（答:ln2）[解析]前面我們講的內容：極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。其結構式為：Ⅱ重要極限Ⅱ是指下面的公式：其中e是個常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對數(shù)的底，它的值為e=……其結構式為：重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。arcsinx～x。tan～x。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。當?shù)葍r無窮小量代換定理：如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。定義設是同一變化過程中的無窮小量，即。性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。注意：無窮大（∞）不是一個數(shù)值，“∞”是一個記號，絕不能寫成或。（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。例如：振蕩型發(fā)散 （4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。（五）無窮小量和無窮大量（簡稱無窮?。┒x對于函數(shù)，如果自變量x在某個變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，…來表示無窮小量。下面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理（1）（2）（3）當時，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：（1）（2）（3）用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。（兩面夾定理）設函數(shù)在點的某個鄰域內（可除外）滿足條件：（1），（2）則有。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有 即雖然當x→∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有即雖然當x→∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。例如函數(shù)，當x→∞時，f（x）無限地趨于常數(shù)1，當x→+∞時，f（x）也無限地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當x→∞時的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示?！迺r，函數(shù)f（x）的極限（1）當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限y=f(x)x→∞f(x)→?y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+→1定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x→∞時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）→A（當x→∞時）（2）當x→+∞時，函數(shù)f（x）的極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x→+∞時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→+∞時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n→+∞的n是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實數(shù)。我們稱當x→0時，f（x）的右極限是1，即有顯然，函數(shù)的左極限右極限與函數(shù)的極限之間有以下關系：→x0時，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于A，則必有。 （1）（2）（3）當時，（三）函數(shù)極限的概念→x0時函數(shù)f（x）的極限（1）當x→x0時f（x）的極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）→A（當x→x0時）例y=f（x）=2x+1x→1,f（x）→?x1x→1x1x→1（2）左極限當x→x0時f（x）的左極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→x0時，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作 或f（x00）=A（3）右極限當x→x0時，f（x）的右極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→x0時，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作或f（x0+0）=A例子：分段函數(shù)，求，解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數(shù)1。比如：1，0，1，0，…有界：0，1（兩面夾準則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1），（2）， 則{xn}單調有界，則它必有極限。（有界性）若數(shù)列{xn}收斂，則它必定有界。比如：1，3，5，…，（2n1），…1，0，1，0，…數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列{xn}以A為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點A，即點xn與點A之間的距離|xnA|趨于0。在幾何上，數(shù)列{xn}可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x1,x2,x3,...xn,…。它們的一般項分別為（2n1）,。 。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。 ，掌握極限的四則運算法則。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限 [復習考試要求]（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會運用等價無窮小量代換求極限。[主要知識內容]（一）數(shù)列的極限定義按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作{xn}，數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第n項xn為數(shù)列的一般項或通項，例如（1）1，3，5，…，（2n1），…（等差數(shù)列）（2）（等比數(shù)列）（3）（遞增數(shù)列）（4）1，0，1，0，…，…（震蕩數(shù)列）都是數(shù)列。對于每一個正整數(shù)n，都有一個xn與之對應，所以說數(shù)列{xn}可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當自變量n依次取1,2,3…一切正整數(shù)時，對應的函數(shù)值就排列成數(shù)列。定義對于數(shù)列{xn}，如果當n→∞時，xn無限地趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當n趨于無窮大時，數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作 比如：無限的趨向0，無限的趨向1否則，對于數(shù)列{xn}，如果當n→∞時，xn不是無限地趨于一個確定的常數(shù)，稱數(shù)列{xn}沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：無限的趨向0無限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質與運算法則（惟一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。我們稱當x→0時，f（x）的左極限是1，即有當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)1。x→1時f(x)→?x≠1x→1f(x)→2對于函數(shù)，當x→1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。y=f(x)x→+∞f(x)x→？x→+∞，f(x)=2+→2例：函數(shù)f（x）=2+ex，當x→+∞時，f（x）→？解：f（x）=2+ex=2+，x→+∞，f（x）=2+→2所以（3）當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x→∞時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→∞時，f（x）的極限是A，記作x→∞f(x)→？則f(x)=2+(x＜0)x→∞,x→+∞f(x)=2+→2例：函數(shù)，當x→∞時，f（x）→？解：當x→∞時，x→+∞→2，即有由上述x→∞，x→+∞，x→∞時，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時f（x）的極限是A充分必要條件是當x→+∞以及x→∞時，函數(shù)f（x）有相同的極限A。f(x)=1+y=arctanx不存在。x)=1+y=arctanx不存在。（四）函數(shù)極限的定理（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。注意：。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。：可表示為A與一個無窮小量之和。（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。（5）無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因為。記作。無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。當無窮大無窮小當為無窮小無窮大性質1有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱與為同階的無窮小量；（3）如果則稱與為等價無窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價的無窮小量。均為無窮小又有這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。常用的等價無窮小量代換有：當時，sinx～x。arctanx～x。（六）兩個重要極限Ⅰ重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式令這個公式很重要，應用它可以計算三角函數(shù)的型的極限問題。（七）求極限的方法：；；；；；。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性[復習考試要求]，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法。[主要知識內容]（一）函數(shù)連續(xù)的概念定義1設函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時，相應的函數(shù)的改變量△y也趨近于0，即則稱函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)，則f（x）在點x0處左連續(xù)也右連續(xù)。這里，f（x）在左端點a連續(xù)，是指滿足關系：，在右端點b連續(xù)，是指滿足關系：，即f（x）在左端點a處是右連續(xù)，在右端點b處是左連續(xù)。定義如果函數(shù)f（x）在點x0處不連續(xù)則稱點x0為f（x）一個間斷點。，則f（x）在=0,x==0,x=1處都連續(xù)=0處間斷，x=1處連續(xù)=0處連續(xù)，x=1處間斷解：x=0處，f（0）=0∵f（00）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點x=1處，f（1）=1f（10）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續(xù) ［答案］C[9703]設，在x=0處連續(xù)，則k等于 B. C. 分析：f（0）=k［答案］B例3[0209]設在x=0處連續(xù)，則a=解：f（0）=e0=1∵f（0）=f（00）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1（二）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質。g（x）在x0處連續(xù)（2）f（x）（復合函數(shù)的連續(xù)性）設函數(shù)u=g（x）在x=x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復合函數(shù)y=f[g（x）]在x=x0處連續(xù)。即（反函數(shù)的連續(xù)性）設函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數(shù)x=f1（y）也在對應區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）。（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得推論（零點定理）如