【正文】 式表格：求平面圖形面積求旋轉(zhuǎn)體體積（可用微元法也可用公式）左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積，繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積，繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積已知平行截面面積求立體體積 求平面曲線的弧長 高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問題。通過以上三個(gè)例子談了一下了我對(duì)微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。由于很小，故可認(rèn)為薄球內(nèi)質(zhì)量均勻，為，則薄球質(zhì)量，積分可得結(jié)果。方法是取球體中的一個(gè)薄球形形體，其內(nèi)徑為 厚度為 ，對(duì)于這個(gè)薄球的體積有 ，其中是薄球表面積，是厚度。這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺(tái)，但將其視為上下等粗來求解，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微元法的特色。其中 是薄餅的底面積，薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ,∵，∴；同理薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ， 二者相減即得薄餅底面積。在這個(gè)例子中，體現(xiàn)微元法特色的地方在于：，但卻用來表示；；。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積 ,其中是薄桶的高，是薄桶展開變成薄板后的底面積，就是薄板的厚度；二者相乘即得體積。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對(duì)于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才能真正體會(huì)其思想。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“且”，這從圖像上也很容易理解：滿足的圖像必是凸的，即或，當(dāng)且時(shí)不就一定是的情況嗎?？梢哉f明函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是； 可以說明函數(shù)的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能：，且隨變大而變?。ù笮￡P(guān)系可參考圖3）；，隨變大而變小（大小關(guān)系可參考圖3）；同樣，也只有兩種對(duì)應(yīng)圖像：，隨著變大而變大；，隨變大而變大。3. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件： 區(qū)間I上的，則在I上是凸的；若在I上的，則在I上是凹的；，則當(dāng)時(shí)為極大值，當(dāng)時(shí)為極小值。2. 討論方程根的情況。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時(shí)則須注意以下兩點(diǎn)： A. 極值的定義是：對(duì)于的鄰域內(nèi)異于的任一點(diǎn)都有＞或＜,注意是＞或＜ 而不是≥或≤； B. 極值點(diǎn)包括圖圖2兩種可能，所以只有在在處可導(dǎo)且在處取極值時(shí)才有。典型的構(gòu)題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分單獨(dú)分離到方程的一端形成“＝∽”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對(duì)應(yīng)解法求解。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對(duì)比記憶：若、是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則該齊次方程的通解為若齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系有(nr)個(gè)線性無關(guān)的解向量，則齊次方程組的通解為非齊次方程的通解為，其中是非齊次方程的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解非齊次方程組Ax=b的一個(gè)通解等于Ax=b的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組齊次方程Ax=0的通解之和若非齊次方程有兩個(gè)特解，則對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為若、是方程組Ax=b的兩個(gè)特解，則()是其對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的解由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較難辦的章節(jié)，因?yàn)檫@一章如果有難點(diǎn)的話也僅在于“如何準(zhǔn)確無誤地記憶各種方程類型及對(duì)應(yīng)解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換”，“求解貝努利方程就用變量替換”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換、 ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換、”。對(duì)于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。各種類型都有自己對(duì)應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循——這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式，再積分得到答案。先討論一下一階方程部分。這是因?yàn)槠鋵?shí)并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。歷年真題中對(duì)于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。這就像在記英語單詞時(shí)，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握程度是不同的一樣，對(duì)于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個(gè)詞的認(rèn)識(shí)其實(shí)是在做題的過程中才慢慢清晰的。希望這些想法對(duì)你能有一點(diǎn)啟發(fā)。所以說，“牢記定理的結(jié)論部分”對(duì)作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結(jié)論可用定理A關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，常常是只有連續(xù)性已知存在一個(gè)滿足某個(gè)式子介值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）零值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）B條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)滿足費(fèi)爾馬定理（結(jié)論部分為： ）洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）C條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)滿足拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）柯西中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）另外還常利用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費(fèi)爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時(shí)A也只多了一條“可導(dǎo)性”而已；所以在面對(duì)這一部分的題目時(shí)，如果把與證結(jié)論與可能用到的幾個(gè)定理的的結(jié)論作一比較，會(huì)比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時(shí)出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時(shí)也非常有效。當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí)，最常見的情況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結(jié)論簡直是風(fēng)馬牛不相及的東西，長時(shí)間無法入手；好不容易找到一個(gè)大致方向，在做若干步以后卻再也無法與結(jié)論拉近距離了。通過對(duì)這個(gè)模型的分析可以看出，對(duì)可用知識(shí)點(diǎn)掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。如對(duì)于模型中的(AB) C，如果不知道或弄錯(cuò)則一定無法得出結(jié)論。正方向入手時(shí)可能遇到的問題有以下幾類：，難以從中找出有用的一個(gè)。用以下這組邏輯公式來作模型：假如有邏輯推導(dǎo)公式AE、(AB)C、(CDE)F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的證明題，其中一個(gè)可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證F成立。這種思路對(duì)于證明定積分等式的題目也同樣有效。所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手，對(duì)于對(duì)稱區(qū)間上的積分要同時(shí)考慮到利用變量替換x=u和利用性質(zhì) 、。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加深印象：定積分的結(jié)果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分，把它折彎后就是中的那個(gè)C,漏掉了C也就漏掉了這1分。對(duì)于第三章《不定積分》，陳文燈復(fù)習(xí)指南分類討論的非常全面，范圍遠(yuǎn)大于考試可能涉及的范圍。1 高數(shù)部分 高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向：；，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)法則；，包括；。 高數(shù)第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》與前面的第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》、后面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基礎(chǔ)性知識(shí)，一方面有單獨(dú)出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運(yùn)用，故非常有必要打牢基礎(chǔ)。在此只提醒一點(diǎn)：不定積分中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時(shí)如果在答案中少寫這個(gè)C會(huì)失一分。第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對(duì)第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異——出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對(duì)于型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有=0；若f(x)為偶函數(shù)則有=2；對(duì)于型積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時(shí)用的代換是常用方法。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。 高數(shù)第五章《中值定理的證明技巧》由本章《中值定理的證明技巧》討論一下證明題的應(yīng)對(duì)方法。為了證明F成立可以從條件、結(jié)論兩個(gè)方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。如對(duì)于證明F成立必備邏輯公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同時(shí)存在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如(AB) M，因?yàn)槠渲猩婕傲祟}目所給的3個(gè)條件中的2個(gè)，但這恰恰走不通； ，在該用到的時(shí)候想不起來或者弄錯(cuò)。從反方向入手證明時(shí)也會(huì)遇到同樣的問題。針對(duì)以上分析，解證明題時(shí)其一要靈活，在一條思路走不通時(shí)必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)該再從頭開始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獲取信息。從出題人的角度來看，這是因?yàn)闆]能夠有效地從條件中獲取信息。如在上面提到的模型中，如果做題時(shí)一開始就想到了公式(CDE) F再倒推想到 (AB) C、 AE就可以證明了。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。故對(duì)于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點(diǎn)應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果能夠做到想到介值定理時(shí)就能同時(shí)想起結(jié)論“存在一個(gè)使得”、看到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類似“存在一個(gè)使得”的形式時(shí)也能立刻想到介值定理；想到洛爾定理時(shí)就能想到式子；而見到式子也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處理本部分的題目時(shí)就會(huì)輕松的多，時(shí)常還會(huì)收到“豁然開朗”的效果。綜上所述，針對(duì)包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同時(shí)保持清醒理智，降低出錯(cuò)的可能”。不過僅僅弄明白這些離實(shí)戰(zhàn)要求還差得很遠(yuǎn)，因?yàn)樵趯?shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到；很多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺確實(shí)是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時(shí)那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運(yùn)用；這也就是自身感覺與實(shí)戰(zhàn)要求之間的差別。我們需要做的就是靠足量、高效的練習(xí)來透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運(yùn)用各種變形轉(zhuǎn)換技巧，從而達(dá)到大綱的相應(yīng)要求，提高實(shí)戰(zhàn)條件下解題的勝算。 高數(shù)第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡單，陳文燈復(fù)習(xí)指南對(duì)一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對(duì)應(yīng)的表格。對(duì)于本章的題目，第一步應(yīng)該是辨明類型，實(shí)踐證明這是必須放在第一位的；分清類型以后按照對(duì)應(yīng)的求解方法按部就班求解即可。這樣的知識(shí)點(diǎn)特點(diǎn)就決定了我們可以采取相對(duì)機(jī)械的“辨明類型——〉套用對(duì)應(yīng)方法求解”的套路 ，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對(duì)于各種方程的通式必須牢記，還要能夠?qū)σ谆煜念}目做出準(zhǔn)確判斷。對(duì)于可分離變量型方程，就是變形為=，再積分求解；對(duì)于齊次方程則做變量替換，則化為，原方程就可化為關(guān)于的可分離變量方程，變形積分即可解；對(duì)于一階線性方程第一步先求的通解，然后將變形得到的積分，第二步將通解中的C變?yōu)镃(x)代入原方程解出C(x)后代入即可得解；對(duì)于貝努利方程，先做變量代換代入可得到關(guān)于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊，因?yàn)槠溆袟l件，而且解題時(shí)直接套用通解公式.所以，對(duì)于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)果公式。對(duì)于型方程，就是先把當(dāng)作未知函數(shù)Z，則 原方程就化為 的一階方程形式，積分即得；再對(duì)、依次做上述處理即可求解； 叫不顯含 的二階方程，解法是通過變量替換 、 (p為x的函數(shù))將原方程化為一階方程；叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令（但此中的p為y的函數(shù)），則，也可化為一階形式。大綱對(duì)于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。 高數(shù)第七章《一元微積分的應(yīng)用》本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點(diǎn)；而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識(shí)點(diǎn)：1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。以上兩點(diǎn)都是實(shí)際做題中經(jīng)常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。這一部分常用定理有零值定理（結(jié)論部分為）、洛爾定理（結(jié)論部分為）；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時(shí)，畫輔助圖會(huì)起到很好的作用，尤其是對(duì)于討論方程根個(gè)數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，是的變化率，是的變化率。所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凸的；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凹的。對(duì)于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對(duì)微元法熟練掌握。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對(duì)應(yīng)的微元法核心式來歸納微元法的三種常見類型：1. 薄桶型. 本例求的是由平面圖型a≤x≤b,0≤y≤f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。 對(duì) 積分可得 。2. 的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個(gè)薄餅型形體，可得微元法核心式 。核心式中的 是薄餅的高。3. ，半徑為 ，密度 ， 其中 指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個(gè)薄面以后再用底面積乘高得到的。本例中“用內(nèi)表面的表面積乘以薄球厚度得到核心式”、“將內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的特