【正文】 為電阻消耗的能量。表 7－ 1列出 t等于 0， ?， 2?， 3?， 4?， 5? 時的電容電壓值，由于波形衰減很快，實(shí)際上只要經(jīng)過 4～ 5?的時間就可以認(rèn)為放電過程基本結(jié)束。引入 ? 后，式 7－ 4表示為 圖 7－ 4 RC電路零輸入響應(yīng)的波形曲線 τC0 C0 τC 0 τRC( ) e ( 0 ) ( 7 5 a )d( ) e ( 0 ) ( 7 5 b )d( ) ( ) e ( 0 ) ( 7 5 c)tttu t U tuUi t C ttRUi t i t tR???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?下面以電容電壓 為例 ， 說明電壓的變化與時間常數(shù)的關(guān)系 。當(dāng) t=0+時上式變?yōu)? KKu RCt?? ?? e)0(C根據(jù)初始條件 0CC )0()0( Uuu ?? ??求 得 0UK ?最后得到圖 7－ 3(b)電路的零輸入響應(yīng)為 圖 73 C0 C0C 0RC( ) e ( 0 ) ( 7 4 a )d( ) e ( 0 ) ( 7 4 b )d( ) ( ) e ( 0 ) ( 7 4 c)tRCtRCtRCu t U tuUi t C ttRUi t i t tR???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?從式 7－ 4可見，各電壓電流的變化快慢取決于 R和 C的乘積。其通解為 stKtu e)(C ?代入式 (7－ 1)中，得到特征方程 其解為 稱為電路的固有頻率。 這一過程變化的快慢取決于電阻消耗能量的速率。一直到電容上電壓變?yōu)榱愫碗娙莘懦鋈看鎯Φ哪芰繛橹埂? 圖 73 一、 RC電路的零輸入響應(yīng) 我們先定性分析 t0后電容電壓的變化過程。 在 t=0時開關(guān)迅速由 1端轉(zhuǎn)換到 2端 。 完全響應(yīng)： 指輸入與初始狀態(tài)均不為零時所產(chǎn)生的電路響應(yīng)。 72 一階電路的零輸入響應(yīng) US R C _ uR(t) + uC + _ iC(t) S (t=0) R C SK V L : ( ) ( ) ( 0 )u t u t u t ?? ? ?CCC R CV A R : ,d u d ui C u R i R Cd t d t? ? ?CCSC( 0 )( 0 ) ?duR C u u tdtu??? ? ???? ??零輸入響應(yīng)： 指輸入為零，初始狀態(tài)不為零所引起的電路響應(yīng)。 求： 時， 。 求： 時，各物理量的初始值。 換路時刻 （通常取 ＝ 0），換路前一瞬間： ，換路后一瞬間： 。動態(tài)電路的方程及其初始條件 一階電路和二階電路的階躍響應(yīng) 一階電路的零輸入響應(yīng) 一階電路和二階電路的沖激響應(yīng) * 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 卷積積分 * 一階電路的全響應(yīng) 狀態(tài)方程 * 二階電路的零輸入響應(yīng) 二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng) 動態(tài)電路時域分析中的幾個問題 * 首 頁 本章重點(diǎn) 第 7章 一階電路和二階電路 的時域分析 167。 71 動態(tài)電路的方程及其初始條件 一階電路： 用一階微分方程描述的電路 一 、 換 路： 指電路中開關(guān)的突然接通或斷開 ， 元件參數(shù)的變化 ， 激勵形式的改變等 。 0t 0t0_t 0t ?二、換 路 定 則 c 0 c 0( ) ( )u t u t???L 0 L 0( ) ( )i t i t???C 0 C 0( ) ( )i t i t??? L 0 L 0( ) ( )u t u t???R 0 R 0( ) ( )i t i t??? R 0 R 0( ) ( )u t u t???三、初始值的計算 1. 求 C 0 L 0( ) , ( )u t i t??① 給 定 C 0 L 0( ) , ( )u t i t??② 時，原電路為直流穩(wěn)態(tài) ： 0tt?C — 斷路 L— 短路 ③ 時，電路未進(jìn)入穩(wěn)態(tài) ： 0tt ??0C 0 C( ) ( ) | ttu t u t???? 0L 0 L( ) ( ) | tti t i t ????2. 畫 時的等效電路 0t ?C 0 0( ) ( )u t u t??? L 0 L 0( ) ( )i t i t???換路前后電壓（流）不變的為電壓（流）源 C— 電壓源 L — 電流源 C0( ) 0ut ? ? L0( ) 0it ? ?C— 短 路 L— 斷 路 3. 利用直流 電阻 電路的計算方法求初始值 ic L 已知： 時，原電路已穩(wěn)定 , 時，打開開關(guān) S。 0t ?0t ?0t ?? C R 10Ω S (t=0) uC + _ iR2 15Ω R2 R1 10Ω _ uR1 + iL _ uL + 10V － C ic 解： 1. 求 CL( 0 ) , ( 0 )ui??0t ??時， CL( 0 ) 7. 5V , ( 0 ) 0. 25 Aui???? R1 10Ω iL L 10V R 10Ω S t=0) uC + _ iR2 15Ω R2 _ uR1 + _ uL + 15Ω 10Ω 10Ω iL(0_) 10V uC(0_) + _ 2. 畫 時的等效電路： 0t??3. 時 0t ??R1 ( 0 ) 10 ? ? ? ?R27 . 5( 0 ) 0 . 5 A15i ? ??L R 1 C( 0 ) ( 0 ) 10 ( 0 ) 0u u u? ? ?? ? ? ? ?2C L R( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 . 2 5i i i A? ? ?? ? ? ?iR2(0+) uL(0+) _ + 10Ω 10Ω 15Ω + _ iC(0+) 10V uR1(0+) _ + 4Ω 14Ω 7Ω 4A C S (t=0) uC(t) + _ 10i1 + _ i(t) i1 已知： t0 時，原電路已穩(wěn)定， t =0時，打開開關(guān) S。 0t?? 1 ( 0 ), ( 0 )ii??uC(t) + _ 4Ω 14Ω 7Ω 4A C S (t=0) 10i1 + _ i(t) i1 解： 求 C ( 0 )u ?0t ??時 uC(0) 14Ω 4A i(0) 4Ω i1(0) 7Ω + － 10i1(0) + C 1 111C( 0 ) 1 4 ( 0 ) 1 0 ( 0 ) 4 ( 0 )( 0 ) ( 0 ) 4( 0 ) ( 0 ) 2 A( 0 ) 2 8 Vu i i iiiiiu? ? ? ??????? ? ??????????? ??作 時的等效電路： 0t??0t ??時： 11( 0 ) ( 0 ) 41 4 ( 0 ) 7 ( 0 ) 2 8iiii???????? ???184(0 ) A, (0 ) A33ii??? ? ?4A 4Ω i1(0+) 10i1(0+) + _ i(0+) 7Ω 28V + _ 167。 零狀態(tài)響應(yīng)： 指初始狀態(tài)為零，而輸入不為零所產(chǎn)生的電路響應(yīng)。 圖 73(a)所示電路中的開關(guān)原來連接在 1端 ，電壓源 U0通過電阻 Ro對電容充電 ， 假設(shè)在開關(guān)轉(zhuǎn)換以前 ， 電容電壓已經(jīng)達(dá)到 U0。 已經(jīng)充電的電容脫離電壓源而與電阻 R并聯(lián) ， 如圖 (b)所示 。當(dāng)開關(guān)倒向 2端的瞬間，電容電壓不能躍變，即 0CC )0()0( Uuu ?? ?? 由于電容與電阻并聯(lián)，這使得電阻電壓與電容電壓相同，即 0CR )0()0( Uuu ?? ??電阻的電流為 RUi 0R )0( ?? 該電流在電阻中引起的功率和能量為 ?? t diRtWtRitp 0 2RR2R )( )()()( ??＝電容中的能量為 )(21)( 2C tCutW ? 隨著時間的增長，電阻消耗的能量需要電容來提供，這造成電容電壓的下降。也就是電容電壓從初始值 uC(0+)=U0逐漸減小到零的變化過程。 為建立圖 (b)所示電路的一階微分方程，由 KVL得到 0CR ??? uu由 KCL和電阻、電容的VCR方程得到 tuRCRiRiu dd CCRR ?????代入上式得到以下方程 CCd 0 ( 0 ) ( 7 1 )duR C u tt ? ? ? ?這是一個常系數(shù)線性一階齊次微分方程。 1 0 ( 7 2 )R C s ? ? ?1 ( 7 3 )sRC??－于是電容電壓變?yōu)? 0 te)(C ?? ? RCtKtu 式中 K是一個常量，由初始條件確定。令? =RC，由于 ? 具有時間的量綱，故稱它為 RC電路的時間常數(shù)。 τ 0C e)(tUtu ?? 當(dāng) t=0時， uC(0)=U0，當(dāng) t=?時， uC(?)=。 t 0 ? 2? 3? 4? 5? ? uc(t) U0 0 表 7－ 1 電阻在電容放電過程中消耗的全部能量為 ? ?? ???? 0 0 20202RR 21d)e(d)( CUtRRUtRtiW RC t＝計算結(jié)果證明了 電容在放電過程中釋放的能量的確全部轉(zhuǎn)換為電阻消耗的能量。電阻消耗能量的速率直接影響電容電壓衰減的快慢，我們可以從能量消耗的角度來說明放電過程的快慢。 這就可以解釋當(dāng)時間常數(shù) ?=RC變大，電容放電過程會加長的原因。t=0閉合開關(guān)，求 t 0的電容電壓和電容電流。 圖 76 以圖 7－ 6(a)電路為例來說明 RL電路零輸入響應(yīng)的計算過程。 綜上所述，圖 (b)所示 RL電路是電感中的初始儲能逐漸釋放出來消耗在電阻中的過程。 列出 KCL方程 0LRLR ???? iRuii 代入電感 VCR方程 dtdiLuu LLR ?? 得到以下微分方程 LLd 0 (7 6 )diL iRt? ? ? 這個微分方程與式 (7－ 1)相似，其通解為 L ( ) e ( 0)R tLi t K t??? 代入初始條件 iL(0+)=I0求得 0IK ? 最后得到電感電流和電感電壓的表達(dá)式為 τL 0 0 L τL 0 0( ) e e ( 0 ) ( 7 7 a )d( ) ( 0 ) ( 7 7 b )dtRtLtRtLi t I I tiu t L R I e R I e tt????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 其波形如圖所示。由于 ? =L/R具有時間的量綱，稱為 RL電路的時間常數(shù)。求 t?0時的電感電流 iL(t) 和電感電壓 uL(t)。該電路的時間常數(shù)為 1 m ss10200 3 ??? ?＝＝ RL? 根據(jù)式 7－ 7得到電感電流和電感電壓為 )0( dd)()0( A