【正文】 含，用符號 ? ，表示．其中一個集合本身是其子集的子集，空集是任何非空集合的真子集； (3) 集合的運(yùn)算： A ∩ B ＝ { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } ， A ∪ B ＝ { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } ，?UA ＝ { x | x ∈ U ，且 x ? A } ． 第 1講 │ 主干知識整合 2 ． 四種命題及其關(guān)系 (1) 四種命題； (2) 四種命題之間的關(guān)系：四種命題是指對 “ 若 p ，則 q ” 形式的命題而言的，把這個命題作為原命題，則其逆命題是 “ 若 q ，則 p ” ，否命題是 “ 若 綈 p ，則 綈 q ” ，逆否命題是 “ 若 綈 q ，則綈 p ” ，其中原命題和逆否命題、逆命題和否命題是等價的，而且命題之間的關(guān)系是相互的． 第 1講 │ 主干知識整合 3 ． 充要條件 (1) 充要條件：若 p ? q ，則 p 是 q 的充分條件， q 是 p 的必要條件；若 p ? q ，則 p ， q 互為充要條件； (2) 充要條件與集合：設(shè)命題 p 對應(yīng)集合 A ，命題 q 對應(yīng)集合 B ，則 p ? q 等價于 A ? B ， p ? q 等價于 A ＝ B . 第 1講 │ 主干知識整合 4 ． 邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1) 邏輯聯(lián)結(jié)詞 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 的含義； (2) 帶有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假：命題 p ∨ q ，只要 p ， q 有一為真，即為真命題，換言之，只有 p ， q 均為假命題時才為假；命題 p ∧ q ，只有 p ， q 均為真命題時才為真，換言之，只要 p ， q 有一為假，即為假命題； 綈 p 和 p 為一真一假兩個互為對立的命題； (3) “ 或 ” 命題和 “ 且 ” 命題的否定：命題 p ∨ q 的否定是 綈 p∧ 綈 q ；命題 p ∧ q 的否定是 綈 p ∨ 綈 q . 第 1講 │ 主干知識整合 5 ． 量詞 (1) 全稱量詞與存在量詞； (2) 全稱命題和特稱命題； (3) 含有一個量詞的命題的否定： “ ? x ∈ M ， p ( x ) ” 的否定為 “ ? x0∈ M ， 綈 p ( x0) ” ； “ ? x0∈ M ， p ( x0) ” 的否定為 “ ? x∈ M ， 綈 p ( x ) ” ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 集合的關(guān)系及其運(yùn)算 例 1 [ 201 1 陜西卷 ] 設(shè)集合 M ＝ { y | y ＝ | c os2x － s i n2x |， x ∈ R} ，N ＝ x?????????? x －1i＜ 2 ， i 為虛數(shù)單位， x ∈ R ，則 M ∩ N 為 ( ) A ． (0,1) B ． (0,1] C ． [0,1) D ． [0,1] C 【解析】 對于 M ，由二倍角公式得 y ＝ | cos2x － sin2x |＝ | cos2 x |，故 0 ≤ y ≤ 1.對于 N ，因?yàn)?x －1i＝ x ＋ i ，由????????x －1i 2 ，得 x2＋ 1 2 ，所以－ 1 x 1 ，故 M ∩ N ＝[0,1) ，故答案為 C. 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評】 本題需要注意兩個問題 ， 一是兩個集合的含義 ， 二是要注意集合 N 中的不等式是一個 復(fù)數(shù)模的實(shí)數(shù)不等式 ， 不要根據(jù)實(shí)數(shù)的絕對值求解 ． 高考考查集合一般是以集合的形式與表示等式的解 、 函數(shù)的定義域 、 函數(shù)的值域等 ， 在解題時要特別注意集合的含義 ． 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 若集合 M ＝ {0,1,2} ， N ＝ {( x ， y )| x － y ≥ 0 ，x2＋ y2≤ 4 ， x ， y ∈ M } ，則 N 中元素的個數(shù)為 ( ) A ． 9 B ． 6 C ． 4 D ． 2 C 【解析】 由題意知（ 0, 0 ），（ 1, 0 ），（ 1, 1 ），（ 2, 0 ）符合， 選 C. 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 四種命題和充要條件的判斷 例 2 (1) 已知 a ， b ， c ∈ R ，命題 “ 若 a ＋ b ＋ c ＝ 3 ，則 a2＋ b2＋ c2≥ 3 ” 的否命題是 ( ) A ．若 a ＋ b ＋ c ≠ 3 ，則 a2＋ b2＋ c23 B ．若 a ＋ b ＋ c ＝ 3 ，則 a2＋ b2＋ c23 C ．若 a ＋ b ＋ c ≠ 3 ，則 a2＋ b2＋ c2≥ 3 D ．若 a2＋ b2＋ c2≥ 3 ，則 a ＋ b ＋ c ＝ 3 (2) 對于函數(shù) y ＝ f ( x ) ， x ∈ R ， “ y ＝ | f ( x )| 的圖象關(guān)于 y 軸對稱 ” 是 “ y ＝ f ( x )是奇函數(shù) ” 的 ( ) A ．充分而不必要條件 B ．必要而不充分條件 C ．充要條件 D ．既不充分也不必要條件 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1 )A (2 )B 【解析】 (1 ) 命題的否命題是原命題的條件與結(jié)論分別否定后組成的命題，所以選擇 A. (2 ) 由判定充要條件方法之一 —— 定義法知，由 “ y ＝ f ( x ) 是奇函數(shù) ” 可以推出 “ y＝ | f ( x )| 的圖象關(guān)于 y 軸對稱 ” ，反過來，逆推不成立，所以選 B. 【點(diǎn)評】 一個命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試題時要注意對于一些關(guān)鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于；進(jìn)行充要條件判斷實(shí)際上就是判斷兩個命題的真假，這里要注意斷定一個命題為真需要進(jìn)行證明，斷定一個命題為假只要舉一個反例即可． 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞和命題的否定 例 3 (1) [ 20 1 1 安徽卷 ] 命題 “ 所有能被 2 整除的整數(shù)都是偶數(shù) ” 的 否定． ．是 ( ) A ．所有不能被 2 整除的整數(shù)都是偶數(shù) B ．所有能被 2 整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C ．存在一個不能被 2 整除的整數(shù)是偶數(shù) D ．存在一個能被 2 整除的整數(shù)不是偶數(shù) 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1)D (2)D 【解析】 (1) p 是真命題，則 綈 p 是假命題； q 是假命題，則 綈 q 是真命題，故應(yīng)選 D. (2) 本題是一個全稱命題，其否定是特稱命題，同時將命題的結(jié)論進(jìn)行否定，答案為 D. 【點(diǎn)評】 (1) “ 或 ”“ 且 ” 聯(lián)結(jié)兩個命題，這兩個命題的真假確定了 “ 或 ” 命題和“ 且 ” 命題的真假，其中 “ 或 ” 命題是一真即真， “ 且 ” 命題是一假即假， “ 非 ” 是對一個命題的否定，命題與其 “ 非 ” 命題一真一假； (2) 否定一個命題就是否定這個命題的結(jié)論，即推翻這個命題，這與寫出一個命題的否命題是不同的．一個命題的否命題，是否定條件和結(jié)論后的形式上的命題，如本題中我們把命題改寫為 “ 已知 n 為任意整數(shù)，若 n 能被 2整除，則 n 是偶數(shù) ” ，其否命題是 “ 已知 n 為任意整數(shù)，若 n 不能被 2 整除，則 n 不是偶數(shù) ” ，顯然這個命題是真命題，但這個命題的否定是假命題． 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 有四個關(guān)于不等式的命題： p1： ? x0∈ R ， x20＋ x0＋ 1 0 ； p2： ? x0， y0∈ R ， x20＋ y0－ 4 x0－ 2 y0＋ 6 0 ； p3： ? x ， y ∈ R ＋ ，2 xyx ＋ y≤x ＋ y2； p4： ? x ， y ∈ R ， x3＋ y3≥ x2y ＋ xy2. 其中真命題是 ( ) A ． p1， p4 B ． p2， p4 C ． p1， p3 D ． p2， p3 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 C 【解析】 x2＋ x ＋ 1 ＝??????x ＋122＋340 ，命題 p1正確；x2＋ y2－ 4 x － 2 y ＋ 6 ＝ ( x － 2)2＋ ( y － 1)2＋ 10 ，命題 p2不正確；2 xyx ＋ y≤2 xy2 xy＝ xy ≤x ＋ y2，命題 p3正確； x3＋ y3－ x2y － xy2＝ ( x ＋ y )( x － y )2，當(dāng) x ＋ y 0 時，不等式不成立，故命題 p4不正確．故正確選項(xiàng)為 C. 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 創(chuàng)新鏈接 1 集合中的新定義問題 以集合為背景的新定義問題，歷來是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點(diǎn)，常見的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力． 求解集合中的新定義問題，主要抓兩點(diǎn)： ( 1) 緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在； ( 2) 用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì) ( 概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等 ) 是破解新定義 型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)． 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 [ 201 1 福建卷 ] 在整數(shù)集 Z 中，被 5 除所得余數(shù)為 k 的所有整數(shù)組成一個“ 類 ” ，記為 [ k ] ，即 [ k ] ＝ {5 n ＋ k | n ∈ Z} ， k ＝ 0,1,2,3,4. 給出如下四個結(jié)論： ① 201 1 ∈ [1] ； ② － 3 ∈ [3] ； ③ Z ＝ [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4] ； ④ “ 整數(shù) a ， b 屬于同一 ‘ 類 ’” 的充要條件是 “ a － b ∈ [0] ” ． 其中，正確結(jié)論的個數(shù)是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 (2) 設(shè) S 是至少含有兩個元素的集合，在 S 上定義了一個二元運(yùn)算 “*”( 即對任意的 a ， b ∈ S ，對于有序元素對 ( a ， b ) ，在 S 中有唯一確定的元素 a * b 與之對應(yīng) ) ．若對任意的 a ， b ∈ S ，有 a *( b * a ) ＝ b ，則對任意的 a ， b ∈ S ，下列等式中不恒成立的是 ( ) A ． ( a * b )* a ＝ a B ． [ a *( b * a )]*( a * b ) ＝ a C ． b *( b * b ) ＝ b D ． ( a * b )*[ b *( a * b )] ＝ b 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1)C (2)A 【解析】 (1) 因?yàn)?201 1 ＝ 5 402 ＋ 1 ，則 20 1 1 ∈ [1] ，結(jié)論 ① 正確； 因?yàn)椋?3 ＝ 5 ( － 1) ＋ 2 ，則－ 3 ∈ [2] ，結(jié)論 ② 不正確； 因?yàn)樗械恼麛?shù)被 5 除的余數(shù)為 0,1,2,3,4 五類，則 Z ＝ [0] ∪ [1] ∪ [ 2] ∪ [3] ∪ [4] ，結(jié)論 ③ 正確； 若整數(shù) a ， b 屬于同一 “ 類 ” [ k ] ，可設(shè) a ＝ 5 n1＋ k ， b ＝ 5 n2＋ k ( n1， n2∈ Z) ，則a － b ＝ 5( n1－ n2) ∈ [0] ； 反之，若 a － b ∈ [0] ，可設(shè) a ＝ 5 n1＋ k1， b ＝ 5 n2＋ k2( n1， n2∈ Z) ，則 a － b ＝ 5( n1－ n2) ＋ ( k1－ k2) ∈ [0] ； ∴ k1＝ k2，則整數(shù) a ， b 屬于同一 “ 類 ” ，結(jié)論 ④ 正確，故選 C. (2) 選項(xiàng) B 中， [ a *( b * a )]*( a * b ) ＝ b *( a * b ) ＝ a ，成立；選項(xiàng) C 中， b *( b * b ) ＝ b ，成立；選項(xiàng) D 中，把 ( a * b ) 看做一個整體，記為 c ，則 ( a * b )*[ b *( a * b )] ＝ c *( b * c ) ＝ b ，