【正文】 0 ) 【 或左 ( h 0 ) 】平移 | k | 個(gè)單位向上 ( k 0 ) 【 或下 ( k 0 ) 】平移 | k |個(gè)單位向右 ( h 0 ) 【 或左 ( h 0 ) 】平移 | k | 個(gè)單位向右 ( h 0 ) 【 或左 ( h 0 ) 】平移 | k | 個(gè)單位向上 ( k 0 ) 【 或下 ( k 0 ) 】 平移 | k |個(gè)單位向上 ( k 0 ) 【 或向下 ( k 0 ) 】 平移 | k |個(gè)單位y = a ( x h ) 2 + ky = a ( x h )2y = a x 2 + ky = ax 2平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 “ h 值正右移，負(fù)左移； k 值正上移，負(fù)下移 ” ． 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”． ? 根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路。 1 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目 第一部分 二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí) ? 相關(guān)概念及定義 ? 二次函數(shù)的概念 ：一般地，形如 2y ax bx c? ? ? （ abc， ， 是常數(shù)， 0a? ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù) 0a? ，而 bc， 可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)． ? 二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? 的結(jié)構(gòu)特征： ⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2． ⑵ abc， ， 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)． ? 二次函數(shù)各種形式之間的變換 ? 二次函 數(shù) cbxaxy ??? 2 用 配 方 法 可 化 成 ： ? ? khxay ??? 2 的 形 式 ， 其 中a backabh 442 2???? ， . ? 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式： ① 2axy? ； ② kaxy ?? 2 ；③ ? ?2hxay ?? ；④ ? ? khxay ??? 2 ；⑤ cbxaxy ??? 2 . ? 二次函數(shù)解析式的表示方法 ? 一般式： 2y ax bx c? ? ? （ a ， b ， c 為常數(shù)， 0a? ）； ? 頂點(diǎn)式： 2()y a x h k? ? ? （ a ， h ， k 為常數(shù)， 0a? ）； ? 兩根式： 12( )( )y a x x x x? ? ?（ 0a? ， 1x ， 2x 是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） . ? 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)，即 2 40b ac??時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 . ? 二次函數(shù) 2axy? 的性質(zhì) ? 二次函數(shù) 2y ax c??的性質(zhì) ? 二次函數(shù) ? ?2y a x h??的性質(zhì)： ? ? 二次函數(shù) ? ?2y a x h k? ? ? 的性質(zhì) ? ? ? 拋物線 2y ax bx c? ? ? 的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn) . ? a 的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng) 0?a 時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng) 0?a 時(shí)，開(kāi)口向下； a 相等，拋物線 的開(kāi)口大小、形狀相同 . ? 對(duì)稱(chēng)軸：平行于 y 軸（或重合）的直線記作 2bx a?? .特別地， y 軸記作直線 0?x . ? 頂點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)： ），（ a bacab 442 2?? ? 頂點(diǎn)決定拋物線的位置 .幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù) a 相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同 . ? 拋物線 cbxaxy ??? 2 中， cba , 與函數(shù)圖像的關(guān)系 ? 二次項(xiàng)系數(shù) a 二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? 中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 0a? ． ⑴ 當(dāng) 0a? 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上， a 越大，開(kāi)口越小，反之 a 的值越小，開(kāi)口越大； ⑵ 當(dāng) 0a? 時(shí)，拋物線開(kāi)口向下， a 越小，開(kāi)口越小，反之 a 的值越大，開(kāi)口越大． 總結(jié)起來(lái)， a 決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向， a 的正負(fù)決定開(kāi)口方向， a 的大小決定開(kāi)口的大 小． ? 一次項(xiàng)系數(shù) b 在二次項(xiàng)系數(shù) a 確定的前提下， b 決定了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸． ⑴ 在 0a? 的前提下， 當(dāng) 0b? 時(shí)， 02ba??，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸左側(cè)； 當(dāng) 0b? 時(shí)， 02ba??，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就是 y 軸； 當(dāng) 0b? 時(shí)， 02ba??，即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸的右側(cè)． a 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱(chēng)軸 性質(zhì) 0a? 向上 ? ?00， y 軸 0x? 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； 0x? 時(shí)， y隨 x 的增大而減?。?0x? 時(shí)， y 有最小值 0 ． 0a? 向 下 ? ?00， y 軸 0x? 時(shí)， y 隨 x 的增大增大而減小； 0x?時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； 0x? 時(shí)， y 有最大值 0 ． a 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱(chēng)軸 性質(zhì)性質(zhì) 0a? 向上 ? ?0c， y 軸 0x?時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； 0x? 時(shí)， y隨 x 的增大而減小； 0x? 時(shí)， y 有最小值 c ． 0a? 向下 ? ?0c， y 軸 0x? 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； 0x? 時(shí)， y隨 x 的增大而增大； 0x? 時(shí)， y 有最大值 c ． a 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱(chēng)軸 性質(zhì) 0a? 向上 ? ?0h， X=h xh?時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； xh? 時(shí)， y 隨 x的增大而減??； xh? 時(shí)， y 有最小值 0 ． 0a? 向下 ? ?0h， X=h xh? 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； xh? 時(shí)， y 隨 x的增大而增大； xh? 時(shí)， y 有最大值 0 ． a 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱(chēng)軸 性質(zhì) 0a? 向上 ? ?hk， X=h xh?時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； xh? 時(shí)， y 隨x 的增大而減??； xh? 時(shí)， y 有最小值 k ． 0a? 向下 ? ?hk， X=h xh? 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； xh? 時(shí)， y 隨x 的增大而增大； xh? 時(shí)， y 有最大值 k ． 2 ⑵ 在 0a? 的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng) 0b? 時(shí)， 02ba??，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸右側(cè)； 當(dāng) 0b? 時(shí)， 02ba??，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就是 y 軸； 當(dāng) 0b? 時(shí)， 02ba??，即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸的左側(cè)． 總結(jié)起來(lái)，在 a 確定的前提下， b 決定了拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置． 總結(jié)： ? 常數(shù)項(xiàng) c ⑴ 當(dāng) 0c? 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； ⑵ 當(dāng) 0c? 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 ； ⑶ 當(dāng) 0c? 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)． 總結(jié)起來(lái)， c 決定了拋物線與 y 軸交點(diǎn)的位置． 總之，只要 abc， ， 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． ? 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法 ? 公式法：a bacabxacbxaxy 442222 ???????? ?????， ∴ 頂點(diǎn)是 ），（ a bacab 442 2?? ，對(duì)稱(chēng)軸是直線 abx 2?? . ? 配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為 ? ? khxay ??? 2 的形式，得到頂點(diǎn)為(h ,k )，對(duì)稱(chēng)軸是直線 hx? . ? 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn) . 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一 失 . ? 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 ? 一般式： cbxaxy ??? 2 .已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì) x 、 y 的值，通常選擇一般式 . ? 頂點(diǎn)式： ? ? khxay ??? 2 .已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式 . ? 交點(diǎn)式：已知圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 1x 、 2x ，通常選用交點(diǎn)式： ? ?? ?21 xxxxay ??? . ? 直線與拋物線的交點(diǎn) ? y 軸與拋物線 cbxaxy ??? 2 得交點(diǎn)為 (0, c ). ? 與 y 軸平行的直線 hx? 與拋物線 cbxaxy ??? 2 有且只有一個(gè)交點(diǎn) (h , cbhah ??2 ). ? 拋物線與 x 軸的交點(diǎn) :二次函數(shù) cbxaxy ??? 2 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 1x 、 2x ，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 02 ??? cbxax 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： ① 有兩個(gè)交點(diǎn) ? 0?? ? 拋物線與 x 軸相交； ② 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在 x 軸上） ? 0?? ? 拋物線與 x 軸相切； ③ 沒(méi)有交點(diǎn) ? 0?? ? 拋物線與 x 軸相離 . ? 平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) .當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k ，則橫坐標(biāo)是 kcbxax ???2 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . ? 一次函數(shù) ? ?0??? knkxy 的圖像 l 與二次函數(shù) ? ?02 ???? acbxaxy 的圖像 G 的交點(diǎn)，由方程組 2y kx ny ax bx c???? ? ? ??的解的數(shù)目來(lái)確定： ① 方程組有兩組不同的解時(shí) ? l 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn) 。 ? 三點(diǎn)式。 2，已知拋物線 y=a(x1)２ +4 ， 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 2， 3），求拋物線的解析式。 1，已知拋物線 y=x22ax+a2+b 頂點(diǎn)為 A（ 2， 1），求拋物線的解析式。 ? 交點(diǎn)式。 2，已知拋物線線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)（ 4， 0），（ 1， 0）求拋物線 y=21 a(x2a)(xb)的解析式。 1，在直角坐標(biāo)系中，不論 a 取何值，拋物線 222521 2 ?????? axaxy 經(jīng)過(guò) x 軸上一定點(diǎn) Q，直線 2)2( ??? xay 經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q,求拋物線的解析式。 3，拋物線 y=ax2+ax2 過(guò)直線 y=mx2m+2 上的定點(diǎn) A，求拋物線的解析式。 1， 把拋物線 y= 2x2 向左平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線 y=a( xh)2 +k,求此拋物線解析式。 1，拋物線 y=ax2+4ax+1(a﹥ 0)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 2，求拋物線的解析式。 ? 對(duì)稱(chēng)軸式。 已知拋物線 y=x2+ax+4, 交 x 軸于 A,B（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 左邊）兩點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn) C,且 OBOA=43 OC，求此拋物線的解析式。 1， 平行四邊形 ABCD 對(duì)角線 AC 在 x 軸上，且 A（ 10， 0）， AC=16， D（ 2， 6）。 2， 求與拋物線 y=x2+4x+3 關(guān)于 y 軸（或 x 軸）對(duì)稱(chēng)的拋物線的解析式。 1，已知直線 y=axa2(a≠ 0) 與拋物線 y=mx2 有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。 ? 判別式式。 已知拋物線 y=(a+2)x2(a+1)x+2a 的頂點(diǎn)在 x 軸上 ,求拋物線的解析式。 知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念和圖像 二次函數(shù)的概念 一般地，如果特 )0,(2 ???? acbacbxaxy 是常數(shù)， 特別注意 a不為零 那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)。 二次函數(shù)的圖像 二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于 abx 2?? 對(duì)稱(chēng)的曲線，這條曲線叫拋物線。 二次函數(shù)圖像的畫(huà)法 五點(diǎn)法： （ 1） 先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn) M，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸 （ 2）求拋物線 cbxaxy ??? 2 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： 當(dāng)拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn) A,B 及拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C，再找到點(diǎn) C 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D。 當(dāng)拋物線與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C 及對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D。如果需要畫(huà)出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A、 B，然后順次連 接五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖像。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。 如 果自變量的取值范圍是 21 xxx ?? ，那么，首先要看ab2?是否在自變量取值范圍 21 xxx ??內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng) x=ab2?時(shí)， a bacy 44 2??最值；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在 21 xxx ??范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大，則當(dāng) 2xx? 時(shí)， cbxaxy