【正文】 全等價(jià)的。量子力學(xué)對(duì)微觀系統(tǒng)狀態(tài)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在三種等價(jià)的描述方式，稱之為圖像 (picture)，或表象，或繪景，它們是： 1． Schr246。如果把力學(xué)量平均值和概率分布隨時(shí)間的演化，全都?xì)w之為態(tài)矢隨時(shí)間的演化，而力學(xué)量算符不隨時(shí)間演化，這種描述方式就是 Schr246。 5 Schr246。dinger方程 而力學(xué)量算符 不隨時(shí)間演化： 。 10? ( , )U t t7 由于概率守恒 φ(t1)|φ(t1)=φ(t0)|φ(t0)，且 0 0 1 1?0 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )? ?( ) ( , ) ( , ) ( )t t t tt U t t U t t t? ? ? ??????1 0 1 0? ?( , ) ( , ) 1U t t U t t ?故 由于 Hamiltonian算符是厄米算符，由后面的()式，可以進(jìn)一步給出 ? ?1 0 1 0 1 0 1 0? 11 0 1 0? ? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1? ?( , ) (),( 1 .3)U t t U t t U t t U t tU t t U t t?? ???????8 0 0 0 0 0 01 1 0 010 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 0? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) 1 ?( ) ( , ) ( )? ? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) ((1, ) ? ?( , ) ( , ) (.4)( 1.)5)t U t t t U t tt U t t tt U t t t U t t U t tU t t U t t t???????????????? ??? ????時(shí)間演化算符還滿足以下性質(zhì) 滿足 ()式的算符成為幺正算符，它所代表的的變換稱為幺正變換（正交變換可看作是一種特殊的幺正變換） 9 1 1 0 02 2 1 1 2 1 1 0 02 2 0 0?( ) ( , ) ( )? ? ?( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )?( ) ( , ) ( )t U t t tt U t t t U t t U t t tt U t t t??? ? ???? ??????????下面令 t1=t， t0=0，且采用簡寫 ?( ) ( ) ( 0 )t U t???10? ? ?( , ) ( , 0) ( )U t t U t U t??把 由 2 0 2 1 1 0? ? ?( , ) ( , ) ( , () 1. ) 6 U t t U t t U t t?有 10 代入 Schr246。dinger圖像 和 Heisenberg圖像 下的態(tài)矢和力學(xué)量算符分別帶有上標(biāo) S和 H。 對(duì)于 力學(xué)量平均值，有 ?? ?( ) ( ) ( )? ? ? ?( 0) ( ) ( ) ( 0) ( )S S S SS S S H H HF t F t F tU t F U t F t??? ? ? ?????12 1? 1?( 0) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )H S SH S SU t tF t U t F U t U t F U t? ? ???? ????????其中 分別是 Heisenberg圖像 下的態(tài)矢和力學(xué)量算符。 ?? ? ? ? ? ?( ) ( ( 1 .1 0 )) H S SH U t H U t H H? ? ?13 因此，對(duì) Schr246。這種幺正變換不改變態(tài)矢內(nèi)積和力學(xué)量平均值，不改變算符之間的對(duì)易關(guān)系，因此不改變物理內(nèi)容，兩種圖像等價(jià)。 于是，我們得到在 Heisenberg圖像下，力學(xué)量算符隨時(shí)間演化的 Heisenberg方程。相互作用圖像下的態(tài)矢和算符（帶上標(biāo) I），可由 Schr246。由 ()式中的第一式有 0? ()Ut0 0 0? ? ?i ( ) ( ) ( 1. 14 ) SU t t H U t? ? ?18 00?e x p [ i ] ( )? ? e x p [ i ( ) ] ( 0 )? e x p ( i ) ( 0 )I S SSSSSH t tH H tHt??????????0 0 0 000? ? ? ? ? ? ?[ , ] 0 [ , ] [ , ] 0? ? ? ?e x p ( i ) e x p ( i ) e x p [ i ( ) ]S S S S S S SSSH H H H H H HH t H t H H t??? ? ? ?? ? ? ??如果 Hamiltonian算符的主要部分和微擾部分對(duì)易，即有 則相互作用圖像下的態(tài)矢又可以表達(dá)為 19 利用 ()－ ()式以及 Schr246。dinger方程，且由 Hamiltonian算符中的相互作用項(xiàng)（微擾項(xiàng)）推動(dòng)；算符的演化遵從 Heisenberg方程，且由 Hamiltonian算符中的自由項(xiàng)推動(dòng) 21 以上三種圖像是對(duì)同一物理內(nèi)容的不同描述方式，在物理本質(zhì)上是相互等價(jià)的。如果對(duì)未微擾系統(tǒng)（ ）已經(jīng)有充分了解，加上微擾 之后，取相互作用圖像是合適的，此時(shí)算符的運(yùn)動(dòng)方程由未微擾系統(tǒng)的 Heisenberg方程來描述，它的解是熟悉的、已知的，而態(tài)矢量的運(yùn)動(dòng)方程只含一個(gè)影響較小的微擾算符，便于近似求解。dinger圖像下的 Hamiltonian算符 Eb Ea n?ω |b |a (n+1)?ω 單模輻射場與二能級(jí)原子構(gòu)成的系統(tǒng) 考慮由光場和原子共同組成的系統(tǒng)，其中原子是二能級(jí)的，上下能級(jí)本征態(tài)分別是 |a和|b，分別對(duì)應(yīng)能量本征值 Ea=?ωa和 Eb=?ωb 。在以 |a和 |b作為基矢量的表象下， |a=1|a+0 |b， |b= 0|a+1 |b。 因此 |a和 |b在其自身表象下的矩陣表示為 10, 0( .1 )12ab? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?24 1. 上升算符和下降算符 定義上升算符 和下降算符 如下： ? ? 2201? ?, ( ) 0 00 00?(2?,.2( ) 0 1) 0abba????? ??? ? ?? ??? ? ?????? ? ?????????? ??? ?? ?, 0 ? ?, 0( )b a aa b b????? ????????25 即 上 升算符 把 下 能級(jí)本征態(tài) |b變?yōu)?上 能級(jí)本征態(tài) |a ， 下 降算符 則把 上 能級(jí)本征態(tài) |a變?yōu)?下 能級(jí)本征態(tài) |b 。 ?????利用 和態(tài)矢的正交歸一性，易證 ? ?? ? ? ?, a a b b? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?[ , ] , [ , ] ? ? ? ? ?( 2 . 4? ? ?[ , ] , [ , ])? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ???26 在原子的量子力學(xué)狀態(tài) |ψ=Ca|a+Cb|b下，上升算符和下降算符的平均值與原子的密度矩陣元對(duì)應(yīng) (書上 pp. 106107)： ?? ( )?a b baa b aba b C Cb a C C? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ???2. 系統(tǒng)的 Hamiltonian算符 由單模光場和二能級(jí)原子組成的系統(tǒng)，其總的Hamiltonian算符包括自由光場的貢獻(xiàn) (帶下標(biāo) f)、純原子的貢獻(xiàn) (帶下標(biāo) a)，以及光場與原子之間的相互作用的貢獻(xiàn) (帶下標(biāo) af，相互作用采用電偶極矩近似 )，即有 f a a f? ? ? ? ( 2. 6)H H H H? ? ?假設(shè)單模光場的頻率為 Ω， 二能級(jí)原子上下能級(jí)本征態(tài)分別是 |a和 |b， 分別對(duì)應(yīng)能量本征值 Ea=?ωa和 Eb=?ωb， 則有 28 ?f? ?aaf? ? ?( 1 2 )? ? ? ? ?? ? ?( , ) (( 7 ))2.,abH a aHH e z t e R E z t?? ? ? ? ? ?? ????????? ? ? ???RE其中原子的 Hamiltonian算符在它自身的表象下，還可以表達(dá)為 a( ?0) 0ababH a a b b????????? ????29 顯然有以下本征方程 aa? ?, ( 2 .9 ) abH a a H b b????考慮到原子的固有電偶極矩 (平均 )為零，即 =0a e R a b e R b?故光場與原子之間相互作用項(xiàng) 對(duì)應(yīng)的矩陣為 af0? ?( , )0a e R bH E z tb e R a?? ?? ?????af? ? ( , )H e R E z t??30 af?0 ( , )? ? ( , )( 2 .1 00)abbaD E z tHD E z t?? ?? ?????即 其中 ??0 ( )? ? ?(( 2 .1 1, ) s i n ( ))a b b aD D a e R b DE z t E k z a a? ? ? ???????定義光場與原子之間的耦合系數(shù) g為 0( ) si n 2 ( .12)g D E k z??31 于是 af?0? 0?0 ( , )??( , ) 001? ?si n ( )1001? ?( ) , ( si n )10abbaD E z tHD E z tD E k z a aDEg a a g k z?? ?? ???????? ? ???????? ? ? ?????32 于是相互作用項(xiàng)又可以表達(dá)成 ? ?af? ? ? ? ?( ) ( )H g a a ??? ? ?考慮到上升算符和下降算符滿足 ? 01? ?10?????? ????即 ? ? ? ?af? ? ? ? ? ? ? ? ?()H g a a a a? ? ? ?? ? ? ?33 在上面相互作用包含的四項(xiàng)中 ? 表示原子從上能級(jí)躍遷到下能級(jí)，同時(shí)吸收光場的一個(gè)光子； ? 表示原子從下能級(jí)躍遷到上能級(jí)，同時(shí)吸收光場的一個(gè)光子； √ ? 表示原子從上能級(jí)躍遷到下能級(jí)，同時(shí)光場增加一個(gè)光子； √ ? 表示原子從下能級(jí)躍遷到上能級(jí)，同時(shí)光場增加一個(gè)光子。態(tài)矢對(duì)應(yīng)概率振幅，根據(jù)同時(shí)發(fā)生事件的概率相乘原理，可以用 |a, n ≡ |a|n表示原子處于上能級(jí)而光場光子數(shù)為 n的本征態(tài)，而用 |b, n+1 ≡ |b|n+1表示原子處于下能級(jí)而光場光子數(shù)為 (n+1)的本征態(tài)，顯然 00? , ( 1 2) ,? , 1 [ ( 1 ) 1( 2.2] ,1)17abH a n n a nH b n n b n????? ? ? ???? ? ? ? ? ???38 , , 1 (2( ) ( ) , ( ) , 1 .1 8 )Ia n b nt C t a n C t b n? ?? ? ?其中展開系數(shù) Ca, n (t)和 Cb, n+1(t)假定為時(shí)間的緩變函數(shù)。 ? ?a f a f? ? ? ? ? ?( ) ( )SH H g a a ??? ? ? ?40 原子發(fā)射和吸收的躍遷幾率 Eb Ea n?Ω |b