【正文】 ，小波噪聲對邊緣等特征的提取和保護(hù)是有 很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論背景的 ，因而便于系統(tǒng)的理論分析。 國內(nèi)外研究歷史和現(xiàn)狀 在早期 ，人們通過對邊緣進(jìn)行某些處理，以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊。 小波分析是時(shí)頻分析方法 ， 具有良 好的時(shí)頻局部性 ， 并且有快速算法 (Mallat 算法 )加以實(shí)現(xiàn)。因小波變換可對信號去相關(guān) ， 且噪聲在變換后有白化趨勢 ， 所 以小波域比時(shí)域更利于去噪 ； (4)選基靈活性。小波系數(shù)的稀疏分布 ， 使圖像變換后的熵降低 ； (2)多分辨率特性。相對于早期的方法，小波去噪對邊緣等特征的提取和保護(hù)是有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論背景的，因而更利于理論分析。從信號分析的角度看，小波去噪是信號濾波問題，盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于去噪后還能成功地保留圖像特征，在這一點(diǎn)上又優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器，所以 小波去噪實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合。 從數(shù)學(xué)上看，小波去噪本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問題，即如何在由小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對原信號的最佳逼近，完成原信號和噪聲信號的區(qū)分。利用振動信號或狀態(tài)量對設(shè)備進(jìn)行診斷是設(shè)備故障診斷中最有效、最常用的方法 ,過去常用傳統(tǒng)的基于快速傅里葉變換 ( FFT)的頻譜分析方法進(jìn)行振動信號處理 ,但是傅里葉分析存在著嚴(yán)重的不足 ,它只適于分析時(shí)不變系統(tǒng)的平穩(wěn)信號 ,而不適于分析非平穩(wěn)信號 ,且傅里葉變換對在檢測信號中包含的趨勢、突變事件的開始和結(jié)束等特征分析時(shí)也顯得無能為力。 信號 在生成和傳輸?shù)倪^程中會受到各種各樣噪聲的干擾，對信息的處理、傳輸和存儲造成極大的影響。在圖像處理中如何有效地去除噪聲 , 提取圖像信息變得尤為重要。 如何減少甚至消除噪聲一直是圖像處理研究中的課題之一。現(xiàn)實(shí)中由于獲取圖像的環(huán)境、設(shè)備及傳輸過程存在不確定因素，使得圖像受到噪聲污染是不可避免的。 關(guān)鍵詞 ： 小波變換；去噪；閾值 Abstract Wavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time makes the wavelet analysis suitable for timefrequency analysis has played a particularly important role in denoising,due to the fact that it has the property of time frequency analysis. Using wavelet methods in denoising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet denoising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold denoising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold denoising for a signal with noise and actual results of the example confirmation this paper,the method of Wavelet Analysis is the method of threshold denoising is a good method of easy realization and effective to reduce the noise. Keywords： Wavelet analysis； denoising； threshold 第 1 章 緒論 研究背景和意義 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)字圖像處理技術(shù)獲得了飛速的發(fā)展。小波去噪的關(guān)鍵是如何選擇閾值和如何利用閾值來處理小波系數(shù)，通過對小波閾值化去噪的原理介紹 ,運(yùn)用 MATLAB 中的小波工具箱，對一個(gè)含噪信號進(jìn)行閾值去噪，實(shí)例驗(yàn)證理論的實(shí)際效果，證實(shí)了理論的可靠性。摘 要 小波分析理論是一種新興的信號處理理論，它在時(shí)間上和頻率上都有很好的局部性，這使得小波分析非常適合于時(shí) — 頻分析，借助時(shí) — 頻局部分析特性，小波分析理論已經(jīng)成為信號去噪中的一種重要的工具。 利用小波方法去噪，是小波分析應(yīng)用于實(shí)際的重要方面。 本文設(shè)計(jì)了幾種小波去噪方法，其中的閾值去噪的方法是一種實(shí)現(xiàn)簡單、效果較好的 小波去噪方法。去除圖像的噪聲是圖像處理過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，其結(jié)果直接影響到圖像質(zhì)量和特征提取的精確性?，F(xiàn)代醫(yī)學(xué)中 , 影像被廣泛應(yīng)用于診斷和治療 , 是必不可少的手段和工具 . 醫(yī)學(xué)圖像的好壞直接影響著醫(yī)生對病情的診斷和治療 . 醫(yī)學(xué)圖 像在獲得的過程中都會混有各種噪聲 , 因此有必要進(jìn)行去噪研究 。噪聲是影響圖像質(zhì)量的重要因素；噪聲的存在導(dǎo)致圖像的某些特征細(xì)節(jié)不能被辨識 , 圖像信噪比下降。利用計(jì)算機(jī)等設(shè)備處理圖像，容易受噪聲干擾造成質(zhì)量下降，極大影響了人們從圖像中提取信息，所以非常有必要在利用圖像之前消除噪聲。尋求一種既能有效地減小噪聲，又 能很好地保留 信號 原始信息的方法，是人們一直追求的目標(biāo) 。出于對非平穩(wěn)信號和突變信號的分析的迫切要求 ,法國地球物理學(xué)家 Morlet 于 1984 年提出了一種新的線性時(shí)頻分析方法 ——小波 分析理論 ,為機(jī)械故障診斷中的非平穩(wěn)信號分析 ,弱信號提取，信號濾波等提供了一條有效的途徑。由此小波去噪方法也就是尋找從實(shí)際信號空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到原信號的最佳恢復(fù)。小波變換能夠很好地保留邊緣 (這是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的多分辨率特性 )，小波變換后，由于對應(yīng)圖像特征 (邊緣等 )處的系數(shù)幅值較大，而且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特征提取和保護(hù)。 小波去噪的成功主要在于小波變換有如下特點(diǎn) : (1)低熵性。由于采用了多分辨率的方法 ， 所以可以非常好地刻畫信號 的非平穩(wěn)特征 ， 如邊 緣、尖峰、斷點(diǎn)等 ， 可在不同分辨率下根據(jù)信號和噪聲分布 特點(diǎn)進(jìn)行去噪 ； (3)去相關(guān)性。由于小波變換可以靈活選擇基 ， 也可根據(jù)信號特點(diǎn)和去噪要 求選擇多帶小波、小波包、平移不變小波等 ， 對不同相應(yīng)場合 ， 可以選擇不同的 小波母函數(shù)。這樣 ，小波變換理論就為噪聲消除問題提供了一個(gè)新的思路， 其應(yīng)用也日漸廣泛。 在這一點(diǎn)上 ，雖然這種方法同小波去噪很相似，但是小波變換之所以能夠很好地 保留邊緣 ，是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的多分辨率特性，小波變化后，由于對應(yīng)圖像特征 (邊緣等 )處的系數(shù)幅值變大 ，而且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特 征提取和保護(hù)。在許多國內(nèi)外研究學(xué)者的努 力下 ，小波去噪技術(shù)在信號處理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。 Mallat 是最早從事小波在信號處理中的應(yīng)用的研究者之一 ，他提出的利用小波 變換模極大值原理進(jìn)行信號去噪的方法是小波去噪中最經(jīng)典的方法。然而僅僅利用這些有限的模極大值點(diǎn)進(jìn)行信號重構(gòu) ，誤差是很大的。 Mallat 提出的交替投影方法較好地解決了這個(gè)問題。陳德智、劉貴忠、趙瑞珍 等人分別對小波系數(shù)的重構(gòu)問題作了進(jìn)一步的研究和改進(jìn) ，提出了較易實(shí)現(xiàn)的算法。在該算法的實(shí)現(xiàn)過程中 ，噪聲能量的估計(jì)非常關(guān)鍵。趙瑞珍等人在相關(guān)去噪的基礎(chǔ)上 ，提出了一種基于區(qū)域 相關(guān)的小波濾波算法 ，克服了通常相關(guān)算法中由于各尺度間小波系數(shù)的偏移導(dǎo)致的判 斷準(zhǔn)確率低的缺點(diǎn)。 Donoho 和 Johnstone 等人于 1994 年提出了信號去噪的軟閾值方法和硬閾值方法(WaveShrink)， 還給出了 t=σ2ln(N) 的閾值 ，并從漸進(jìn)意義上證明了 WaveShrink 的最優(yōu)性 ；同年 Coifman 和 Donoho 提出了平移不變小波去噪。 Johnstone 等人 1997 年給出一種相關(guān)噪聲去除的小波閾值估計(jì)器。 Nowak 等人 1999 年提出了針對光子圖像系統(tǒng)的小波變換域?yàn)V波算法，在該系統(tǒng)中的噪聲屬于Poisson 噪聲 Nowak 提出了 PRESS最優(yōu)非線性小波濾波方法 ，根據(jù)圖像局部區(qū)域的大小，來調(diào)整 PRESS最優(yōu)濾波器 ，使其與 Poisson 噪聲的方差水平相匹配。 Speckle 噪聲實(shí)際上是一種乘性噪聲 ，其去除方法由 Fukuda 等人提出 ，隨后又 有不少學(xué)者對乘性噪聲的去除作了進(jìn)一步的研究。 Oktem 等人提出了一種 Filmgrain 型噪聲的去除與含噪圖像壓縮的變換域方法。 Chen 等人根據(jù)圖像小波系數(shù)在小波分解后的相關(guān)性 ，提出了使用鄰域小波系數(shù) 的圖像閾值去噪算法。 Jansen 提出了對于重噪聲的最小風(fēng)險(xiǎn)閾值方法。 本文研究內(nèi)容 目前，小波去噪的基本方法有： （ 1） 利用小波變換模極大去噪； （ 2） 基于各尺度下小波系數(shù)相關(guān)性進(jìn)行去噪； （ 3） 采用非線性小波變換閾值法去噪、平移不變量小波去噪。閾值法由于具有能得到原始信號的近似最優(yōu)估計(jì)、計(jì)算速度快以及具有廣泛適應(yīng)性等優(yōu)點(diǎn)，是小波去噪方法中應(yīng)用最廣泛的一種，因此是本論文中主要研究 的去噪方法。對傅里葉變換和小波變換進(jìn)行了分析，分析了它們各自之間的 區(qū)別和聯(lián)系 ，指出小波變換適合信號處理的原因，同時(shí)介紹了小波變換的數(shù)學(xué)背景，這是后面討論 的理論基礎(chǔ)。介紹小波變換消噪的 優(yōu)勢、原理以及基函數(shù)的選取問題。 第四步是 Matlab 仿真實(shí)驗(yàn)。 最后為全文的工作的總結(jié)。它是 20 世紀(jì) 80 年代初，由 Morlet 在分析研究地球物理信號時(shí)提出來的，是一種剛剛發(fā)展，但具有強(qiáng)大生命力的新學(xué)科技術(shù)。小波分析，是泛函分析、傅里葉分析及數(shù)值分析等多個(gè)學(xué)科相互交叉、相互融合的結(jié)晶。它是一種多尺度的信號分析方法，使分析非平穩(wěn)信號的強(qiáng)有力的工具。 一般說來，傳統(tǒng)上使用 Fourier 分析的地方，現(xiàn)在都可以用小波分析并能夠取得更好的結(jié)果，小波分析能對幾乎所有的常見函數(shù)空間給出簡單的刻畫，也能用小波展開系數(shù)描述函數(shù)的局部性質(zhì)。這一優(yōu)越的局部分析性能，使小波分析在數(shù)據(jù)壓縮、邊緣檢測、信號處理和語音分析等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。隨著小波理論的不斷完善，它的應(yīng)用領(lǐng)域也越來越廣泛。本章給出了關(guān)于小波分析的一些基本概念、定理及算法。 FFT(快速 Fourier 變換 )的提出更使 Fourier 方法從理論走向?qū)嵺` ， 成為大們進(jìn)行分析的強(qiáng)有力工具。傅 立 葉變換在信號分析和圖像處理等領(lǐng)域里有著重要的應(yīng)用 ，能將信號的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，是信號分析與信 號處理的重要工具。傅 立 葉變換反映不出信號頻率隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號 ，即時(shí)變信號，它只能給出一個(gè)總的平均效果。為了從模擬信號中提取頻譜 ，就要取出無限的時(shí)間量， 使用過去的和將來的信息只為計(jì)算單個(gè)頻率的頻譜。因?yàn)樾盘柕念l率反比于其時(shí)間周期長 ， 因此對高頻譜信息而言 ，時(shí)間區(qū)域應(yīng)相對窄，而對低頻譜信息而言，時(shí)間區(qū)域應(yīng) 相對寬 ，即應(yīng)給一個(gè)可調(diào)時(shí)頻窗， Fourier 分析不能做到這一點(diǎn) ，從而不適于做局 部分析。設(shè) )()( 2 RLxg ? ,而且 0)()( 2 ??? dxxgxg ，如果???????? dxxgx 2)( ，則稱 )(xg 是一個(gè)窗函數(shù)。加窗傅里葉變換發(fā)展了傅里葉變換 ，能夠滿足信號處理的某 些特殊需要。而我們希望對高頻信號進(jìn)行分析時(shí)窗口要窄一些 ，對低頻信 號分析時(shí)窗口要寬一些 ，而小波變換可以根據(jù)頻率的高低自動調(diào)節(jié)窗口的寬度， 具有敏感的變焦距特性 ，能夠滿足我們分析的需要。當(dāng) )(?? 滿足下面的允許條件時(shí) ??????? ? dC R 2)(? (2 7) 則 )(t? 就是一個(gè)基本函數(shù)，令 )(1)(, a btatba ?? ?? 式中， a， b 均為常數(shù)，且 a0。則 x(t)的小波變換（ wavelet transform, WT）定義為 ? ? ?????? )(),()()()(1),( ,* ,* ttxdttxdta bttxabaWT babax ??? (28) 小波變換可理解為用一組分析寬度不斷變化的基函數(shù)對 x(t)做分析，這一變化正好適應(yīng)了對信號分析時(shí)在不同頻率范圍需要不同的分辨率這一基本要求?？梢钥闯霎?dāng) a 減小時(shí)，時(shí)域?qū)挾葴p小，而頻域?qū)挾仍龃?，而?b 的窗口中心向 ? 增大方向移動。這便是它優(yōu)于短時(shí)傅里葉變換與經(jīng)典傅里葉變換的地方。 連續(xù)小波變換 設(shè) )(t? 是平方可積函數(shù) ，即 )(t? )(2 RL? ，若 )(t? 的傅立葉變換 )(w? 滿足條件： ???? ???? d2)( (211) 則稱 )(t? 為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，稱式 (211)為小波函數(shù)的可容許性條件。 連續(xù)小波變換 (CWT)定義為：設(shè)函數(shù) f