【正文】 ∫∞+∞f(x)dx=1,∴B=1.(2) 又當0x1時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2。P{X=}。所以Y=3+X2～N(0,1).習題2已知X～f(x)={2x,0x10,其它, 連續(xù)型隨機變量及其概率密度習題1設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=12πe(x+3)24(∞x+∞),則Y=175。=12+1π?π4121π(π4)=12.習題7在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個質(zhì)點，[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數(shù).解答：=(12+1πarctan1)[12+1πarctanx(1)](2)P{1X≤1}=F(1)F(1)F(x)=12+1πarctanx,(2)X落在(1,1]內(nèi)的概率.解答：(1)由于F(∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X2∣X≠1}=P{X=1}P{X≠1}=23.習題5設(shè)X的分布函數(shù)為(2)P{X2∣X≠1}.解答：(1)F(x)={0,x,1≤x,1≤x31,x≥3,試求：(1)X的概率分布；所以其分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}={0,x,1≤x,3≤x51,x≥5.F(x)的圖形見圖.習題4設(shè)離散型隨機變量X的分布函數(shù)為F(∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是隨機變量的分布函數(shù).習題3已知離散型隨機變量X的概率分布為P{X=1}=,P{X=3}=,P{X=5}=,試寫出X的分布函數(shù)F(x)，并畫出圖形.解答：由題意知X的分布律為：X問F(x)是否為某隨機變量的分布函數(shù).解答：首先，因為0≤F(x)≤1,?x∈(∞,+∞).其次，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，即λ11!eλ=λ22!eλ?λ=2,∴P{X=0}=e2,∴p=(e2)4=e8. 隨機變量的分布函數(shù)習題1F(X)={0,x,2≤x01,x≥0,即≈∑k=02P(k。P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k。n=800,p=,np=4,應用泊松定理，所求概率為：在τ這段時間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù), 所以若P{X≥1}=59,3512036120211201120習題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨立，下次抽取時情況與前一次抽取時完全相同，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,?,k,?.設(shè)第k次才取到正品(前k1次都取到次品),X對應概率分布為P{X=0}=C73C103=35120,1p2=P{X=1}=.則隨機變量的分布律為 它可能的值只有兩個，即0和1.X=0表示未投中，其概率為m≈≈5,因此，.,解上式得(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞()k=()5。(2)P{X≥5}。 當生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布；即P{X20},P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律為X345pk1/103/103/5習題5某加油站替出租車公司代營出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，每天加油站要多付給職工服務(wù)費60元，設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個隨機變量，它的概率分布如下：X10203040pi求因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當天的額外支出費用的概率.解答：因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為：在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.解答：隨機變量X的可能取值為3,4,5.P{X=3}=C22?1C53=110,P{X1∣X≠0}=P{X1,X≠0}P{X≠0}=P{X=1}P{X≠0}即3716c=1,解得試確定常數(shù)c,=115+215+315=25。(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P{12X52。得P{X=2}=P{取出球的號碼大于5}=4/10. 離散型隨機變量及其概率分布習題1設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},P{X=0}=P{取出球的號碼小于5}=5/10,定義隨機變量X如下：隨機事件及其概率 隨機事件習題1試說明隨機試驗應具有的三個特點．習題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點. 隨機事件的概率 古典概型與幾何概型 條件概率 事件的獨立性復習總結(jié)與總習題解答習題3. 證明下列等式：習題5.習題6.習題7習題8習題9習題10習題11習題12習題13習題14習題15習題16習題17習題18習題19習題20習題21習題22習題23習題24習題25習題26第二章 隨機變量及其分布 隨機變量習題1隨機變量的特征是什么？解答：①隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數(shù).②隨機變量的取值是隨機的，事先或試驗前不知道取哪個值.③隨機變量取特定值的概率大小是確定的.習題2試述隨機變量的分類.解答：①若隨機變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量；否則稱為非離散型隨機變量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機變量.習題3盒中裝有大小相同的球10個，編號為0,1,2,?,9,從中任取1個，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個隨機變量來表達上述隨機試驗結(jié)果，并寫出該隨機變量取每一個特定值的概率.解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗的三個結(jié)果“小于5”，“等于5”，“大于5”，則樣本空間S={ω1,ω2,ω3},X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3則X取每個值的概率為P{X=1}=P{取出球的號碼等于5}=1/10,求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},λeλ=λ^2/2e^λ,解得λ=2.習題2設(shè)隨機變量X的分布律為(2)P{1≤X≤3}。(3)P{X3}.解答：(1)P{12X52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15。(3)P{X3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.習題3已知隨機變量X只能取1,0,1,2四個值，相應概率依次為12c,34c,58c,716c,并計算P{X1∣X≠0}.解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1, c=3716=.由條件概率知=12c134c=24c3==.習題4一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.P{X=4}=C32?1C53=310,P{3X60},P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=.就是說，.習題6設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=,(3)?解答：(1)P{X=k}=(1p)kp=()k,k=0,1,2,?。(3)，則m應滿足P{X≥m}=,即P{X≤m1}=. 由于P{X≤m1}=∑k=0m1()k()=1()m,=,求他一次投籃時，投籃命中的概率分布.解答：此運動員一次投籃的投中次數(shù)是一個隨機變量，設(shè)為X,p1=P{X=0}==,X=1表示投中一次，其概率為X0P習題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.解答：設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3.P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120,P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律為0123P則隨機變量X的分布律為P{X=k}=310310?310710=(310)k1710,k=1,2,?.習題10設(shè)隨機變量X～b(2,p),Y～b(3,p),求P{Y≥1}.解答：因為X～b(2,p),P{X=0}=(1p)2=1P{X≥1}=15/9=4/9,所以p=1/3.因為Y～b(3,p),P{Y≥1}=1P{Y=0}=1(2/3)3=19/27.習題11紡織廠女工照顧800個紡綻，,800,)4)=e4(1+41!+422!)≈.習題12設(shè)書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},是隨機變量X的分布函數(shù)，則X是___________型的隨機變量.解答：離散.由于F(x)是一個階梯函數(shù)，故知X是一個離散型隨機變量.習題2設(shè)F(x)={0x0x20≤1,1x≥1F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且135PkX113pkF(x)={0,x0x2,0≤x1x12,1≤x,x≥,求P{X≤},P{X},P{X≤2}.解答：P{X≥}=P{}F()=(),P{X}=1P{X≤}=1F()=,P{X≤2}=F(2)F()=11=0.習題6設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx(∞x+∞),試求：(1)系數(shù)A與B?？芍獅A+B(π2)A+B(π2)=1=0?A=12,B=1π,于是∞x+∞。F(x)=P{X≤x}={0,x0xa,0≤x,x≥a～N(0,1).解答：應填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知μ=3,σ=2由Y=Xμσ～N(0,1),求P{X≤}。F(x).解答：P{X≤}=∫∞(x)dx=∫∞00dx+∫=x2∣=,P{X=}=P{X≤}P{X}=∫∞(x)dx∫∞(x)dx=0.當X≤0時，F(xiàn)(x)=0。當X≥1時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0x,x≥1習題3設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)={A+Be2x,x00,x≤0,試求：(1)A,B的值；(2)P{1X1}。(3)概率密度函數(shù)F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be2x)=1,∴A=1。\becauselimx→0+(A+Be2x)=F(0)=0,P{1X1}=F(1)F(1)=1e2.(3)f(x)=F′(x)={2ex,x00,x≤0.習題4服從拉普拉斯分布的隨機變量X的概率密度f(x)=Ae∣x∣,即 ∫∞+∞Ae∣x∣dx=1,而∫∞+∞Ae∣x∣dx=∫∞0Aexdx+∫0+∞Aexdx=Aex∣∞0+(Aex∣0+∞)=A+A=2A或所以2A=1,又因為F(x)=∫∞xf(t)dt,當x≥0時，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣x∣dt=∫∞012etdt+∫0x12etdtf(x)={100x2,x≥1000,其它,某一電子管的使用壽命為X,則電子管使用150小時以上的概率為P{X150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=100x∣150+∞=100150=23,從而三個電子管在使用150小時以上不需要更換的概率為p=(2/3)3=8/27.習題6設(shè)一個汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時間到達是等可能的，試計算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時間超過4分鐘的概率.解答：設(shè)X為每位乘客的候車時間，則X服從[0,5]上的均勻分布. 設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時間超過4分鐘的人數(shù). .n=10,p=P{X≥4}=15=,所以 P{Y=1}=C101≈.習題7設(shè)X～N(3,22).(1)確定C,(2)設(shè)d